Question

①半径为13cm圆内的两条平行弦分别为10cm和24cm长，则两条平行弦之间距离是

 

；
②△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，BC=20cm，点O到BC的距离为6cm，则△ABC的面积是

 

；
③两个圆相切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径为

 

；
④若O为△ABC的外心，∠C=n°，用n°表示∠AOB为

 

；
⑤OA、OB是⊙O的半径，且互相垂直，延长OB到C，使BC=OB，CD是⊙O的切线，D为切点，则∠OAD的度数为

 

；
⑥已知两圆的半径分别为4和5，公共弦长6，则两圆的圆距为

 

；
⑦若一个点到圆的最长距离为a，最短距离为b，则此圆的半径

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：分类讨论

分析：①可分AB和CD在O的两旁和同旁两种情况讨论，然后运用垂径定理和勾股定理就可解决问题；
②可分圆心O在△ABC的外部和内部两种情况讨论，然后运用垂径定理和勾股定理就可解决问题；
③由于两圆的圆心距小于一个圆的半径，因此两圆内切，可分所求圆的半径大于5和小于5两种情况讨论，然后运用切线的性质就可解决问题；
④可分点C与点O在AB的同侧和异侧两种情况讨论，然后运用圆周角定理和圆内接四边形的性质就可解决问题；
⑤可分点A与点D在直线OC的同侧和异侧两种情况讨论，然后运用切线的性质和特殊三角函数值就可解决问题；
⑥可分两圆的圆心在公共弦的两侧和同侧两种情况讨论，然后运用相交两圆的性质和勾股定理即可解决问题；
⑦只需可分点在圆内和圆外两种情况讨论即可解决问题．

解答：解：①若AB和CD在O的两旁，如图①a，

过O作MN⊥AB于M，交CD于N，连接OB、OD，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴BM=

1

2

AB=12cm，DN=

1

2

CD=5cm，
∵OB=OD=13cm，
∴OM=

OB2-BM2

=5cm，
同理ON=12cm，
∴MN=OM+ON=5+12=17（cm），
若AB和CD在O的同旁，如图①b，

同理可得：MN=12-5=7（cm）．
故答案为：17cm或7cm．

②若圆心O在△ABC的外部，连接OA、OB，如图②a，

则有OA⊥BC，BD=DC=

1

2

BC=10，
∴OB²=BD²+OD²=100+36=136，
∴OB=2

34

，
∴AD=OA-OD=OB-OD=2

34

-6，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×20×（2

34

-6）=20

34

-60（cm²）．
若圆心O在△ABC的内部，连接OA并延长交BC于D，连接OB，如图②b，

则有AD⊥BC，BD=DC=

1

2

BC=10，
同理可得：S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×20×（2

34

+6）=20

34

+60（cm²）．
故答案为：（20

34

-60）cm²或（20

34

+60）cm²．

③不妨设⊙O₂的半径为5，由题可得O₁O₂=2．
∵O₁O₂＜5，∴两个圆相内切．
若⊙O₂的半径比⊙O₁的半径大，连接AO₂，如图③a，

则AO₂必过点O₁．
∴AO₁=AO₂-O₁O₂=5-2=3．
若⊙O₂的半径比⊙O₁的半径小，连接AO₁，如图③b，

则AO₁必过点O₂，
同理可得：AO₁=AO₂+O₁O₂=5+2=7．
故答案为：3或7．

④若点C与点O在AB的同侧，如图④a，

则∠AOB=2∠C=2n°．
若点C与点O在AB的异侧，如图④b，

在弦AB所对的优弧上取一点D，连接DA、DB，
则有∠C+∠D=180°，∠AOB=2∠D．
∴∠AOB=2（180°-∠C）=2（180°-n°）=360°-2n°．
故答案为：2n°或360°-2n°．

⑤若点A与点D在直线OC的同侧，连接OD，如图⑤a，

∵CD与⊙O相切于D，∴OD⊥DC即∠ODC=90°．
∵BC=OB，OD=OB，
∴OC=2OD，
∴cos∠DOC=

OD

OC

=

1

2

，
∴∠DOC=60°．
∵OA⊥OB即∠AOB=90°，
∴∠AOD=30°．
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=

180°-30°

2

=75°．
若点A与点D在直线OC的异侧，连接OD，如图⑤b，

同理可得∠OAD=15°．
故答案为：75°或15°．

⑥不妨设⊙O₁的半径为5，⊙O₂的半径为4．
若圆心O₁与圆心O₂在公共弦AB的两侧，连接AO₁、AO₂，如图⑥a，

则有O₁O₂⊥AB，AH=BH=

1

2

AB=3．
在Rt△AHO₁中，
O₁H=

O1A2-AH2

=

52-32

=4．
同理可得O₂H=

7

，
∴O₁O₂=O₁H+O₂H=4+

7

．
若圆心O₁与圆心O₂在公共弦AB的同侧，连接AO₁、AO₂，如图⑥b，

同理可得：O₁O₂=O₁H-O₂H=4-

7

．
故答案为：4+

7

或4-

7

．

⑦若点P在圆外，连接PO交⊙O于点A，延长PO与⊙O交于点B，如图⑦a，

则PB=a，PA=b，
∴AB=PB-PA=a-b，
∴OA=

1

2

AB=

a-b

2

．
若点P在圆内，延长OP交⊙O于点A，延长PO与⊙O交于点B，如图⑦b，

同理可得：OA=

1

2

AB=

a+b

2

．
故答案为：

a-b

2

或

a+b

2

．

点评：本题组属于圆中的多解问题，考查了垂径定理、圆周角定理、圆的内接四边形的性质、切线的性质、相交两圆的性质、相切两圆的性质、勾股定理等知识，而正确进行分类是解决此类题的关键．