【题目】如图,△ABC是等边三角形,AB=3,E在AC上且AE=AC,D是直线BC上一动点,线段ED绕点E逆时针旋转900,得到线段EF,当点D运动时,则线段AF的最小值是_______
【答案】
【解析】
作DM⊥AC于M,FN⊥AC于N,如图,设DM=x,则CM=x,可计算出EM=-x+1,再利用旋转的性质得到ED=EF,∠DEF=90°,证明△EDM≌△FEN得到DM=FN=x,EM=NF=-x+1,接着利用勾股定理得到AF2=(-x+1)2+(2+x)2,配方得到AF2= (x-)2+,然后利用非负数的性质得到AF的最小值.
解:作DM⊥AC于M,FN⊥AC于N,如图,
设DM=x,
在Rt△CDM中,CM=DM=x,
而EM+x=1,
∴EM=-x+1,
∵线段ED绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,
∴ED=EF,∠DEF=90°,
可得△EDM≌△FEN,
∴DM=FN=x,EM=NF=-x+1,
在Rt△AFN中,AF2=(-x+1)2+(2+x)2=(x-)2+,
当x=时,AF2有最小值,
∴AF的最小值为.
故答案为.
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【题目】如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.
(1)求证:△BDG∽△DEG;
(2)若EGBG=4,求BE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2ax与x轴相交于O、A两点,OA=4,点D为抛物线的顶点,并且直线y=kx+b与该抛物线相交于A、B两点,与y轴相交于点C,B点的横坐标是﹣1.
(1)求k,a,b的值;
(2)若P是直线AB上方抛物线上的一点,设P点的横坐标是t,△PAB的面积是S,求S关于t的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当PB∥CD时,点Q是直线AB上一点,若∠BPQ+∠CBO=180°,求Q点坐标.
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【题目】如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等, 与是否可能全等?若能,求出全等时点Q的运动速度和时间;若不能,请说明理由.
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣4,﹣3),与y轴交于点B,对称轴是x=﹣3,请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式.
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是x=﹣.
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【题目】已知:中,.
如图1,若,,,且,求AD的长;
如图2,请利用没有刻度的直尺和圆规,在线段AB上找一点F,使得点F到边AC的距离等于注:不写作法,保留作图痕迹,对图中涉及到的点用字母进行标注
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【题目】(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2) 如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
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【题目】某地区遭受严重的自然灾害,空军某部队奉命赶灾区空投物资,已知空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落,抛物线顶点为机舱航口,如图所示,如果空投物资离开处后下落的垂直高度米时,它测处的水平距离米,那么要使飞机在垂直高度米的高空进行空投,物资恰好准确地落在居民点处,飞机到处的水平距离应为________米.
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【题目】如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等于一个正方形面积的( )
A. B. C. D.
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