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【题目】如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.

(1)求证:△BDG∽△DEG;

(2)若EGBG=4,求BE的长.

【答案】(1)证明见解析(2)4

【解析】(1)证明:∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,∴△BCE≌△DCF。∴∠FDC=∠EBC。

∵BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC。∴∠FDC=∠EBE。

又∵∠DGE=∠DGE,∴△BDG∽△DEG。

(2)解:∵△BCE≌△DCF,∴∠F=∠BEC,∠EBC=∠FDC。

∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=90°,∠DBC=∠BDC=45°。

∵BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC。

∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°,∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF。∴BD=BF,

∵△BCE≌△DCF,∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG。

∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°,即BG⊥DF。

∵BD=BF,∴DF=2DG。

∵△BDG∽△DEG,BG×EG=4,∴。 ∴BG×EG=DG×DG=4。∴DG=2

∴BE=DF=2DG=4。

(1)根据旋转性质求出∠EDG=∠EBC=∠DBE,根据相似三角形的判定推出即可。

(2)先求出BD=BF,BG⊥DF,求出BE=DF=2DG,根据相似求出DG的长,即可求出答案

练习册系列答案
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