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    11．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交直线BD于点F．
    （1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系：AF与BE的数量关系是AF=BE；
    （2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，求$\frac{AF}{BE}$的值；
    （3）如图3，若四边形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC=α，∠DBC=β，请你补全图形，并直接写出：$\frac{AF}{BE}$=tan（α-β）（用含α，β的式子表示）．

    分析 （1）根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；
    （2）根据四边形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，根据余角的性质得到∠AFO=∠BEA，又因为∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到结论；
    （3）根据垂直的定义得到∠AGB=∠AOB=90°，推出A，G，B，O四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到∠GAO=∠GAO，推出△AOF∽△BOE，即可得到结论．

    解答 解：（1）AF=BE；  
    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，
    ∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，
    ∴∠FAO=∠FBG，
    在△AFO与△BFO中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{∠FAO=∠FBG}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
    ∴△AFO≌△BFO，
    ∴AF=BE；
    故答案为：AF=BE；

    （2）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
    ∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
    ∴∠FAO+∠AFO=90°，
    ∵AG⊥BE，
    ∴∠EAG+∠BEA=90°，
    ∴∠AFO=∠BEA，
    又∵∠AOF=∠BOE=90°，
    ∴△AOF∽△BOE，
    ∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
    ∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
    ∴$\frac{AO}{OB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
    ∴$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$；

    （3）如图3，∵AG⊥BE，AC⊥BD，
    ∴∠AGB=∠AOB=90°，
    ∴A，G，B，O四点共圆，
    ∴∠GAO=∠GAO，
    ∴∠AOF=∠BOE=90°，
    ∴△AOF∽△BOE，
    ∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
    ∵∠ABO=∠ABC-∠OBC=α-β，AC⊥BD，
    ∴$\frac{AO}{OB}$=tan（α-β），
    ∴$\frac{AF}{BE}$=tan（α-β）．
    故答案为：tan（α-β）．

    点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，熟记定理是解题的关键．

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