【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,Ab=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点0.点P从点A出发,沿方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:
(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?
(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形OECQF:S△ACD=9:16?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)t为或5;(2);(3)t=;(4)t=2.88.
【解析】(1)∵在矩形ABCD中,Ab=6cm,BC=8cm,∴AC=10,①当AP=PO=t,如图1,过P作PM⊥AO,∴AM=AO=,∵∠PMA=∠ADC=90°,∠PAM=∠CAD,∴△APM∽△ADC,∴,∴AP=t=,②当AP=AO=t=5,∴当t为或5时,△AOP是等腰三角形;
(2)作EH⊥AC于H,QM⊥AC于M,DN⊥AC于N,交QF于G,在△APO与△CEO中,∵∠PAO=∠ECO,AO=OC,∠AOP=∠COE,∴△AOP≌△COE,∴CE=AP=t,∵△CEH∽△ABC,∴,∴EH=,∵DN==,∵QM∥DN,∴△CQM∽△CDN,∴,即,∴QM=,∴DG==,∵FQ∥AC,∴△DFQ∽△DOC,∴,∴FQ=,∴S五边形OECQF=S△OEC+S四边形OCQF==,∴S与t的函数关系式为;
(3)存在,∵S△ACD=×6×8=24,∴S五边形OECQF:S△ACD=():24=9:16,解得t=,t=0,(不合题意,舍去),∴t=时,S五边形S五边形OECQF:S△ACD=9:16;
(4)如图3,过D作DM⊥AC于M,DN⊥AC于N,∵∠POD=∠COD,∴DM=DN=,∴ON=OM==,∵OPDM=3PD,∴OP=,∴PM=,∵,∴,解得:t≈15(不合题意,舍去),t≈2.88,∴当t=2.88时,OD平分∠COP.
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【题目】如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC,则下列结论中,正确的个数为( )
①AB⊥AC; ②AD与AC互相垂直; ③点C到AB的垂线段是线段AB;
④点A到BC的距离是线段AD的长度; ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离;
⑥AD+BD>AB.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
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【题目】目前,步行已成为人们最喜爱的健身方法之一,通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步,则小博每消耗1千卡能量需要行走________步.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象经过点A(﹣1,0),B(0,),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则PB+PD的最小值为 ;
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点.
①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有 个;
②连接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范围.
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【题目】在我市开展“阳光”活动中,为解中学生活动开展情况,随机抽查全市八年级部分同学1分钟,将抽查结果进行,并绘制两个不完整图.请根据图中提供信息,解答问题:
(1)本次共抽查多少名学生?
(2)请补全直方图空缺部分,直接写扇形图中范围135≤x<155所在扇形圆心角度数.
(3)若本次抽查中,在125次以上(含125次)为优秀,请你估计全市8000名八年级学生中有多少名学生成绩为优秀?
(4)请你根据以上信息,对我市开展学生活动谈谈自己看法或建议
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【题目】下列四种说法:
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
②在同一平面内,两条不相交的线段是平行线段;
③相等的角是对顶角;
④在同一平面内,若直线AB∥CD,直线AB与EF相交,则CD与EF相交.
其中,错误的是__________________________(填序号).
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