【题目】如图,正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C,D,E在同一条直线上,顶点B,C,G在同一条直线上.O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接FH交EG于点M,连接OH.以下四个结论:①GH⊥BE;②△EHM∽△GHF;③﹣1;④=2﹣,其中正确的结论是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】A
【解析】
由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,得出△BCE≌△DCG,推出∠BEC+∠HDE=90°,从而得GH⊥BE;由GH是∠EGC的平分线,得出△BGH≌△EGH,再由O是EG的中点,利用中位线定理,得HO∥BG且HO=BG;由△EHG是直角三角形,因为O为EG的中点,所以OH=OG=OE,得出点H在正方形CGFE的外接圆上,根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°,∠HEG=∠HFG,从而证得△EHM∽△GHF;设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,由HO∥BG,得出△DHN∽△DGC,即可得出,得到,即a2+2ab-b2=0,从而求得,设正方形ECGF的边长是2b,则EG=2b,得到HO=b,通过证得△MHO△MFE,得到,进而得到,进一步得到.
解:如图,
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,
∴BC=CD,CE=CG,∠BCE=∠DCG,
在△BCE和△DCG中,
∴△BCE≌△DCG(SAS),
∴∠BEC=∠BGH,
∵∠BGH+∠CDG=90°,∠CDG=∠HDE,
∴∠BEC+∠HDE=90°,
∴GH⊥BE.
故①正确;
∵△EHG是直角三角形,O为EG的中点,
∴OH=OG=OE,
∴点H在正方形CGFE的外接圆上,
∵EF=FG,
∴∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°,∠HEG=∠HFG,
∴△EHM∽△GHF,
故②正确;
∵△BGH≌△EGH,
∴BH=EH,
又∵O是EG的中点,
∴HO∥BG,
∴△DHN∽△DGC,
设EC和OH相交于点N.
设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,
即a2+2ab﹣b2=0,
解得:a=b=(﹣1+)b,或a=(﹣1﹣)b(舍去),
故③正确;
∵△BGH≌△EGH,
∴EG=BG,
∵HO是△EBG的中位线,
∴HO=BG,
∴HO=EG,
设正方形ECGF的边长是2b,
∴EG=2b,
∴HO=b,
∵OH∥BG,CG∥EF,
∴OH∥EF,
∴△MHO△MFE,
∴,
∴EM=OM,
∴,
∴
∵EO=GO,
∴S△HOE=S△HOG,
∴
故④错误,
故选:A.
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【题目】如图,AB为⊙O直径,CD为弦,AB⊥CD于E,连接CO,AD,∠BAD=20°,下列结论中正确的有( )①CE=OE②∠C=50° ③=④AD=2OE
A.①④B.②③C.②③④D.①②③④
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【题目】为积极响应“弘扬传统文化”的号召,某学校组织全校1200名学生进行经典诗词诵读活动,并在活动之后举办经典诗词大赛,为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取40名学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图如图所示.
大赛结束后一个月,再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表如下:
一周诗词诵背数量 | 3首 | 4首 | 5首 | 6首 | 7首 | 8首 |
人数 | 1 | 3 | 5 | 6 | 10 | 15 |
请根据调查的信息
(1)求活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数;
(2)估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的人数;
(3)选择适当的统计量,至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据,评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
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【题目】如图l,在中,,,于点,是线段上的点(与,不重合),,,连结,,,.
(1)求证:;
(2)如图2,若将绕点旋转,使边在的内部,延长交于点,交于点.
①求证:;
②当为等腰直角三角形,且时,请求出的值.
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【题目】如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG,交BG于点H.连接HF,AF,其中AF交EC于点M.
(1)求证:△AHF为等腰直角三角形.
(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,动点Q在边AB上,连接CQ,将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN,延长QN交直线CD于点M.
(1)求证:MC=MQ
(2)当BQ=1时,求DM的长;
(3)过点D作DE⊥CQ,垂足为点E,直线QN与直线DE交于点F,且,求BQ的长.
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【题目】已知,如图,有一块含有30°的直角三角形的直角边的长恰与另一块等腰直角三角形的斜边的长相等.把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且
(1)若某开口向下的抛物线的顶点恰好为点,请写出一个满足条件的抛物线的解析式.
(2)若把含30°的直角三角形绕点按顺时针方向旋转后,斜边恰好与轴重叠,点落在点,试求图中阴影部分的面积(结果保留)
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【题目】已知一元二次方程2x2﹣3x﹣6=0有两个实数根a,b,直线经过点A(a+b,0)和点B(0,ab),则直线l的函数表达式为( )
A.y=2x﹣3B.y=2x+3C.y=﹣2x+3D.y=﹣2x﹣3
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【题目】抛物线(为常数,)经过点,且关于直线对称,是抛物线与x轴的一个交点.有下列结论:①方程的一个根是x=-2;②若,则;③若时,方程有两个相等的实数根,则;④若时,,则.其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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