Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=12cm，D为BC边中点．DE⊥BC交边AB于点E．点P从点E出发．以1cm/s的速度沿ED向终点D运动．同时点Q从点E出发，以$\sqrt{2}$cm/s的速度沿EA向终点A运动．以PQ为边在∠AED的内部作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm²）．点P的运动时间为t（s）．
（1）点Q到直线DE的距离为t．（用含t的代数式表示）
（2）求正方形顶点M落在AC边上时t的值．
（3）求S与t的函数关系式．
（4）直接写出整个运动过程中线段QM所扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质即可；
（2）由正方形的性质得到△FPQ≌△GQM，用时间t表示线段建立方程即可；
（3）按时间分情况，利用面积之和或差表示出所求的图形的面积即可；
（4）找出整个运动过程中线段QM所扫过的面积和△AEM面积一样大即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵DE∥AC，
∴∠FEQ=45°，
∵EQ=$\sqrt{2}$t，
∴QF=t，
故答案为t．
（2）过点Q作QF⊥DE交AC于G，如图1，

∵∠C=90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠PFQ=∠QGM=90°，
∵四边形PQMN为正方形，
∴∠PQM=90°，PQ=MQ，
∴∠FPQ+∠FQP=∠FQP+∠GQM=90°，
∴∠FPQ=∠GQM．．
∴△FPQ≌△GQM，
∴FP=GQ，
∵AC=BC=12，点D为BC中点，
∴∠A=∠B=45°，CD=6，
∵PT=EF=t，PF=QG=2t，
∴t+2t=6，
∴t=2；
解：（3）当正方形顶点落在BC边上时，如图2，

2（6-t）=6，
∴t=3，
当0＜t≤2时，如图3，

S=PQ²=t²+（2t）²=5t²，
当2＜t≤3时，如图4，

S=[$\sqrt{5}$t-$\frac{\sqrt{5}}{2}$（6-t）]²=-$\frac{25}{4}$t²+45t-45，
当3＜t≤6时如图5，

S=$\frac{1}{2}$（6+12）×6-$\frac{1}{2}$t²（6-t）²-$\frac{1}{4}$（6-t）²=-$\frac{9}{4}$t²+21t-9，
（4）解：如图6，

AC与MN的交点为H，由题意由EH=AH=6，△ACD≌△MHA，
∴MH=AC=6，∴EM=EH+MG=18，
∴S线段QM所扫过的面积=S_△AEM=$\frac{1}{2}$×EM×AH=$\frac{1}{2}$×18×6=54．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查动点中正方形随之变化的情景，解题的关键是分段来求图形的面积，本题的难点是重叠部分面积的计算．