【题目】已知△ABC中,∠CAB=90°,AC=AB=3,△CDE中,∠CDE=90°,CD=DE=5,连接BE,取BE中点F,连接AF、DF.
(1)如图1,若C、B、E三点共线,H为BC中点.
①直接指出AF与DF的关系 ;
②直接指出FH的长度 ;
(2)将图(1)中的△CDE绕C点逆时针旋转a(如图2,0°<α<180°),试确定AF与DF的关系,并说明理由;
(3)在(2)中,若AF=,请直接指出点F所经历的路径长.
【答案】(1)①AF=DF,且AF⊥DF;②;(2)结论:AF=DF,且AF⊥DF(3)当旋转30°或150°时,AF=
,点F经历的路径长为
或
【解析】
(1)①AF=DF,且AF⊥DF,如图1,过F作MN∥CD,交DE于M,交CA的延长线于N,根据已知条件易证四边形FMCN为矩形,再证△FNA≌△FMD,即可得DF=AF,∠AFN=∠FDM,再由∠FDM+∠MFD=90°,可得∠MFD+∠AFN=90°,即∠DFA=90°,所以DF⊥AF; ②因H是BC的中点,可得BH=BC,由FH=BF+BH即可解答;(2) AF=DF,且AF⊥DF,延长AF至S使FS=AF,连接DS、SE,延长SE交AC于T,先证△ABF≌△SEF,再证△SED≌△ACD,即可证得结论;(3) 分旋转30°或150°两种情况求点F所经历的路径长.
(1)①AF=DF,且AF⊥DF,
理由是:如图1,过F作MN∥CD,交DE于M,交CA的延长线于N,
∵△ABC是等腰直角三角形,且AC=3,
∴BC=3,
同理EC=5,
∵C、B、E三点共线,
∴EB=5﹣3
=2
,
∵F是BE的中点,
∴EF=BE=
,
∵∠E=45°,
∴EM=FM=1,
∴DM=5﹣1=4,
∵∠ECD+∠ACB=45°+45°=90°
∴∠EDC=∠ACD=∠MNC=90°,
∴四边形MDCN是矩形,
∴CN=DM=4,MN=DC=5,
∴FN=DM=4,FM=AN=1,
∵∠DMF=∠FNA=90°,
∴△FNA≌△DMF,
∴DF=AF,∠AFN=∠FDM,
∵∠FDM+∠MFD=90°,
∴∠MFD+∠AFN=90°,
∴∠DFA=90°,
∴DF⊥AF;
②∵H是BC的中点,
∴BH=BC=
,
∴FH=BF+BH=+
=
;
故答案为:①AF=DF,且AF⊥DF;②;
(2)结论:AF=DF,且AF⊥DF,
理由如下:
延长AF至S使FS=AF,连接DS、SE,延长SE交AC于T,
∵∠AFB=∠EFS,BF=EF,
∴△ABF≌△SEF,
∴AB=SE=AC,∠FAB=∠FSE,
∴∠STC=∠BAC=90°,
∴∠EDC+∠STC=180°,
∴∠TED+∠TCD=180°,
∵∠TED+∠SED=180°,
∴∠SED=∠ACD,
∵ED=CD,
∴△SED≌△ACD,
∴AD=SD,∠ADC=∠SDE,
∴∠ADS=90°,
∴AF=DF,且AF⊥DF;
(3)∵F是BE的中点,H是BC的中点,
∴FH是△BEC的中位线,
∴FH=EC=
,
∵在旋转过程中,CE是定值,则FH也是定值,
∴点F的运动路径是以H为中点,以FH为半径的圆,
如图4,过D作DM⊥AC,交AC的延长线于M,
由(2)知:△AFD是等腰直角三角形,
∵AF=,
∴AD=×
=7,
设CM=x,DM=y,
则,
解得:x=,
∴CM=,
∵CD=5,
∴∠CDM=30°,
∴∠DCM=60°,
∵∠ACB+∠DCE+∠BCE+∠DCM=180°,
∴∠BCE=30°,即α=30°,
此时,点F所经历的路径长==
.
如图5,过D作DM⊥AC,交AC的延长线于M,
同理得:∠DCM=60°,
∵∠ECD=45°,
∴∠ECM=60°﹣45°=15°,
∴α=∠BCE=180°﹣45°+15°=150°,
此时,点F所经历的路径长==
.
综上所述,当旋转30°或150°时,AF=,点F经历的路径长为
或
.
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【题目】如图,一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点.
(1)利用图中条件,求两个函数的解析式;
(2)根据图象写出使y1>y2的x的取值范围.
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【题目】在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回.如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)直接写出y甲,y乙与x之间的函数关系式(不写过程);
(2)①求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
②根据图象判断,x取何值时,y乙>y甲.
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【题目】某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现,每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件.根据规定:纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.
(1)当每个纪念品定价为3.5元时,商店每天能卖出________件;
(2)如果商店要实现每天800元的销售利润,那该如何定价?
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【题目】如图,、
分别表示
步行与
骑车在同一路上行驶的路程
(千来)与时间
(小时)之间的关系.
(1)出发时与
相距______千米.
(2)走了一段路后,自行车发生故障,进行修理,所用的时间是______小时.
(3)出发后______小时与
相遇.
(4)求出行走的路程
与时间
的函数关系式.
(5)若的自行车不发生故障,保持出发时的速度前进,那么几小时与
相遇?相遇点离
的出发点多少千米?请同学们在图中画出这个相遇点
.
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【题目】为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”,某校八年级的两班学生进行了预选,其中班上前5名学生的成绩(百分制)分别为:八(1)班86,85,77,92,85;八(2)班79,85,92,85,89.通过数据分析,列表如下:
班级 | 平均分 | 中位数 | 众数 | 方差 |
八(1) | 85 | b | c | 22.8 |
八(2) | a | 85 | 85 | 19.2 |
(1)直接写出表中a,b,c的值;
(2)根据以上数据分析,你认为哪个班前5名同学的成绩较好?说明理由.
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【题目】如图1,将矩形纸片ABCD沿AC剪开,得到△ABC和△ACD.
(1)将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到图2所示的△ABC′,过点C′作C′E∥AC,交DC的延长线于点E,试判断四边形ACEC′的形状,并说明理由.
(2)若将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转,使B,A,D在同一条直线上,得到图3所示的△ABC′,连接CC′,过点A作AF⊥CC′于点F,延长AF至点G,使FG=AF,连接CG,C′G,试判断四边形ACGC′的形状,并说明理由.
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【题目】一种实验用轨道弹珠,在轨道上行驶5分钟后离开轨道,前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2,后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系,如图,轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分,求:
(1)二次函数和反比例函数的关系式.
(2)弹珠在轨道上行驶的最大速度.
【答案】(1)v=(2<t≤5) (2)8米/分
【解析】分析:(1)由图象可知前一分钟过点(1,2),后三分钟时过点(2,8),分别利用待定系数法可求得函数解析式;
(2)把t=2代入(1)中二次函数解析式即可.
详解:(1)v=at2的图象经过点(1,2),
∴a=2.
∴二次函数的解析式为:v=2t2,(0≤t≤2);
设反比例函数的解析式为v=,
由题意知,图象经过点(2,8),
∴k=16,
∴反比例函数的解析式为v=(2<t≤5);
(2)∵二次函数v=2t2,(0≤t≤2)的图象开口向上,对称轴为y轴,
∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末,为8米/分.
点睛:本题考查了反比例函数和二次函数的应用.解题的关键是从图中得到关键性的信息:自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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