Question

【题目】如图1，将矩形纸片ABCD沿AC剪开，得到△ABC和△ACD.

(1)将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到图2所示的△ABC′，过点C′作C′E∥AC，交DC的延长线于点E，试判断四边形ACEC′的形状，并说明理由.

(2)若将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转，使B，A，D在同一条直线上，得到图3所示的△ABC′，连接CC′，过点A作AF⊥CC′于点F，延长AF至点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，试判断四边形ACGC′的形状，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1)四边形ACEC′是菱形，理由见解析；(2)四边形ACGC′是正方形，理由见解析.

【解析】

(1)先证明四边形ACEC′是平行四边形，由AC'＝AC，即可得出四边形ACEC′是菱形；

(2)先证明四边形ACGC′是平行四边形，由AC'＝AC，∠C'AC＝90°，得出四边形ACGC′是正方形.

解：(1)四边形ACEC′是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

由旋转的性质得：∠BAC＝∠C'AC，AC'＝AC，

∴∠C'AC＝∠ACD，

∴AC'∥DE，

∵C′E∥AC，

∴四边形ACEC′是平行四边形，

∵AC'＝AC，

∴四边形ACEC′是菱形；

(2)四边形ACGC′是正方形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠DAC＝90°，

由旋转的性质得：AC'＝AC，∠BAC'＝∠BAC，

∴∠BAC'+∠DAC＝90°，

∴∠C'AC＝90°，

∵AF⊥CC′，

∴AF＝C'C＝C'F＝CF，

∵FG＝AF，

∴AF＝C'F＝CF＝FG，

∴四边形ACGC′是平行四边形，

∵AC'＝AC，∠C'AC＝90°，

∴四边形ACGC′是正方形.