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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC90°ABBC,点DBC边上任意一点(BC不重合),以BD为直角边构造等腰直角三角形BDEFAD的中点.

(1)将△BDE绕点B旋转,当点EF重合时,求证:∠BAE+BCD45°.

(2)将△BDE绕点B旋转,当点FBE上且ABAD时,求证:2CDBE.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

(1)如图2中,利用等腰直角三角形的性质及旋转的性质,证明△ABF≌△BCD(SAS)即可解决问题.

(2)如图3中,作ANBMNBEGCMBDM.只要证明△CDM是等腰直角三角形,BNDNDM,即可解决问题.

1)证明:如图2中,

∵△BDE是等腰直角三角形,△BDE绕点B旋转,当点EF重合,

∴△BFD是得把直角三角形,

∴∠DBF=∠BFD45°BDDF

FAD的中点,

AFDF

BDAF

∵∠ABC90°

∴∠ABF+DBC=∠ABF+BAF45°

∴∠BAF=∠DBC

ABBC

∴△ABF≌△BCD(SAS)

ABF=∠BCD

∴∠BAE+BCD45°

2)证明:如图3中,作ANBMNBEGCMBDM.

(1)可知△CBM≌△BAN

BNCMANBM

ABADANBD

BNDN,∵EDBD

ANDE

∴∠GAF=∠FDEBGGE

DE2GN

在△AGF和△DEF中,

∴△AGF≌△DEF(AAS)

AGDEBD

AN3BNBM3CM

BNDN

DMCM

∴△CDM是等腰直角三角形,

CDCM

CMBNBD

CDBD

BEBD

BE2CD.

练习册系列答案
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(2)问题探究:

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(3)应用拓展:

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