【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点D为BC边上任意一点(与B、C不重合),以BD为直角边构造等腰直角三角形BDE,F为AD的中点.
(1)将△BDE绕点B旋转,当点E与F重合时,求证:∠BAE+∠BCD=45°.
(2)将△BDE绕点B旋转,当点F在BE上且AB=AD时,求证:2CD=BE.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)如图2中,利用等腰直角三角形的性质及旋转的性质,证明△ABF≌△BCD(SAS)即可解决问题.
(2)如图3中,作AN⊥BM于N交BE于G,CM⊥BD于M.只要证明△CDM是等腰直角三角形,BN=DN=DM,即可解决问题.
(1)证明:如图2中,
∵△BDE是等腰直角三角形,△BDE绕点B旋转,当点E与F重合,
∴△BFD是得把直角三角形,
∴∠DBF=∠BFD=45°,BD=DF,
∵F为AD的中点,
∴AF=DF,
∴BD=AF,
∵∠ABC=90°,
∴∠ABF+∠DBC=∠ABF+∠BAF=45°,
∴∠BAF=∠DBC,
∵AB=BC,
∴△ABF≌△BCD(SAS),
∴ABF=∠BCD,
∴∠BAE+∠BCD=45°;
(2)证明:如图3中,作AN⊥BM于N交BE于G,CM⊥BD于M.
由(1)可知△CBM≌△BAN,
∴BN=CM,AN=BM,
∵AB=AD,AN⊥BD,
∴BN=DN,∵ED⊥BD,
∴AN∥DE,
∴∠GAF=∠FDE,BG=GE,
∴DE=2GN,
在△AGF和△DEF中,,
∴△AGF≌△DEF(AAS),
∴AG=DE=BD,
∴AN=3BN,BM=3CM,
∵BN=DN,
∴DM=CM,
∴△CDM是等腰直角三角形,
∴CD=CM,
∵CM=BN=BD,
∴CD=BD,
∵BE=BD,
∴BE=2CD.
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【题目】我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”.
(1)概念理解:
如图1,在△ABC中,AC=6,BC=3,∠ACB=30°,试判断△ABC是否是”等高底”三角形,请说明理由.
(2)问题探究:
如图2,△ABC是“等高底”三角形,BC是”等底”,作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC,连结AA′交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心,求的值.
(3)应用拓展:
如图3,已知l1∥l2,l1与l2之间的距离为2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上,点A在直线l2上,有一边的长是BC的倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,A′C所在直线交l2于点D.求CD的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线经过点M(1,3)和N(3,5)
(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;
(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(﹣2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.
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【题目】在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回.如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)直接写出y甲,y乙与x之间的函数关系式(不写过程);
(2)①求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
②根据图象判断,x取何值时,y乙>y甲.
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【题目】六一期间,某公园游戏场举行“迎奥运”活动.有一种游戏的规则是:在一个装有个红球和若干个白球(每个球除颜色外其他相同)的袋中,随机摸一个球,摸到一个红球就得到一个奥运福娃玩具.已知参加这种游戏活动为人次,公园游戏场发放的福娃玩具为个.
求参加一次这种游戏活动得到福娃玩具的概率;
请你估计袋中白球接近多少个?
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【题目】某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现,每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件.根据规定:纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.
(1)当每个纪念品定价为3.5元时,商店每天能卖出________件;
(2)如果商店要实现每天800元的销售利润,那该如何定价?
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【题目】如图,、分别表示步行与骑车在同一路上行驶的路程(千来)与时间(小时)之间的关系.
(1)出发时与相距______千米.
(2)走了一段路后,自行车发生故障,进行修理,所用的时间是______小时.
(3)出发后______小时与相遇.
(4)求出行走的路程与时间的函数关系式.
(5)若的自行车不发生故障,保持出发时的速度前进,那么几小时与相遇?相遇点离的出发点多少千米?请同学们在图中画出这个相遇点.
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【题目】如图1,将矩形纸片ABCD沿AC剪开,得到△ABC和△ACD.
(1)将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到图2所示的△ABC′,过点C′作C′E∥AC,交DC的延长线于点E,试判断四边形ACEC′的形状,并说明理由.
(2)若将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转,使B,A,D在同一条直线上,得到图3所示的△ABC′,连接CC′,过点A作AF⊥CC′于点F,延长AF至点G,使FG=AF,连接CG,C′G,试判断四边形ACGC′的形状,并说明理由.
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【题目】如图所示,在△ABC中,已知AD⊥BC,∠B=64°,∠C=56°,
(1)求∠BAD和∠DAC的度数;
(2)若DE平分∠ADB,求∠AED的度数.
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