Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点M（1，3）和N（3，5）

（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；

（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线与x轴没有交点；（2）先向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位．

【解析】

试题（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；

（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．

试题解析：

（1）由抛物线过M、N两点，把M、N坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为，令y=0可得，该方程的判别式为△=9﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴抛物线与x轴没有交点；

（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），可设平移后的抛物线解析式为：

①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得：，解得：，∴平移后的抛物线为，∴该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；

②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得：，解得：，∴平移后的抛物线为，∴该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．