【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线经过点M(1,3)和N(3,5)
(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;
(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(﹣2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.
【答案】(1)抛物线与x轴没有交点;(2)先向左平移3个单位,再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位.
【解析】
试题(1)把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值,可求得抛物线解析式,再根据一元二次方程根的判别式,可判断抛物线与x轴的交点情况;
(2)利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标,设出平移后的抛物线的解析式,把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式,比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程.
试题解析:
(1)由抛物线过M、N两点,把M、N坐标代入抛物线解析式可得:,解得:
,∴抛物线解析式为
,令y=0可得
,该方程的判别式为△=9﹣4×1×5=9﹣20=﹣11<0,∴抛物线与x轴没有交点;
(2)∵△AOB是等腰直角三角形,A(﹣2,0),点B在y轴上,∴B点坐标为(0,2)或(0,﹣2),可设平移后的抛物线解析式为:
①当抛物线过点A(﹣2,0),B(0,2)时,代入可得:,解得:
,∴平移后的抛物线为
,∴该抛物线的顶点坐标为(
,
),而原抛物线顶点坐标为(
,
),∴将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线;
②当抛物线过A(﹣2,0),B(0,﹣2)时,代入可得:,解得:
,∴平移后的抛物线为
,∴该抛物线的顶点坐标为(
,
),而原抛物线顶点坐标为(
,
),∴将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,直线分别交x轴、y轴于A、B两点(AOAB)且AO、AB的长分别是一元二次方程x23x20的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:AC=1:2.
(1)求A、C两点的坐标;
(2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1,
其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤
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【题目】为弘扬中华民族传统文化,某校举办了“古诗文大赛”,并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品.1支签字笔和2个笔记本共8.5元,2支签字笔和3个笔记本共13.5元.
(1)求签字笔和笔记本的单价分别是多少元?
(2)为了激发学生的学习热情,学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类图书,如果给每名获奖同学都买一本图书,需要花费720元;书店出台如下促销方案:购买图书总数超过50本可以享受8折优惠.学校如果多买12本,则可以享受优惠且所花钱数与原来相同.问学校获奖的同学有多少人?
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【题目】完全相同的4个小球,上面分别标有数字1、-1、2、-2,将其放入一个不透明的盒子中摇匀,再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀).把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作,
,以
,
分别作为一个点的横坐标与纵坐标,定义点
在反比例函数
上为事件
(
为整数),当
的概率最大时,则
的所有可能的值为__________.
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【题目】如图,已知为
斜边BC上的高,点E为DA延长线上一点,连结
,过点
作
于点F,交AB、AD于
、
两点.
(1)证明:
(2)若,
,求
的长.
(3)若,且
,且线段BF与EF的长是关于
的一元二次方程
的两个实数根,求
的长.
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【题目】旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.
(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入﹣管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,点D为BC边上任意一点(与B、C不重合),以BD为直角边构造等腰直角三角形BDE,F为AD的中点.
(1)将△BDE绕点B旋转,当点E与F重合时,求证:∠BAE+∠BCD=45°.
(2)将△BDE绕点B旋转,当点F在BE上且AB=AD时,求证:2CD=BE.
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【题目】如图是8×8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作:
(1)在网格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(﹣2,4),点B的坐标为(﹣4,2);
(2)在第二象限内的格点上画一点C,连接AC,BC,使△BC成为以AB为底的等腰三角形,且腰长是无理数.
①此时点C的坐标为 ,△ABC的周长为 (结果保留根号);
②画出△ABC关于y轴对称的△A′B'C′(点A,B,C的对应点分别A',B',C′),并写出A′,B′,C′的坐标.
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