【题目】如图,是的直径,点、在上且,连接、,过点作交的延长线于点.
求证:是的切线;
若,,求的半径.
【答案】(1)见解析;(2)的半径为.
【解析】
(1)连结OC,由F,C,B三等分半圆,根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC,而∠OAC=∠OCA,则∠FAC=∠OCA,可判断OC∥AF,由于CD⊥AF,所以OC⊥CD,然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线;
(2)连结BC,由AB为直径得∠ACB=90°,由F,C,B三等分半圆得∠BOC=60°,则∠BAC=30°,所以∠DAC=30°,在Rt△ADC中,利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8,在Rt△ACB中,根据勾股定理求得AB,进而求得⊙O的半径.
证明:连结,如图,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴是的切线;
解:连结,如图,
∵为直径,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
在中,,
∴,
在中,,
即,
∴,
∴的半径为.
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【题目】如图1,将矩形纸片ABCD沿AC剪开,得到△ABC和△ACD.
(1)将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到图2所示的△ABC′,过点C′作C′E∥AC,交DC的延长线于点E,试判断四边形ACEC′的形状,并说明理由.
(2)若将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转,使B,A,D在同一条直线上,得到图3所示的△ABC′,连接CC′,过点A作AF⊥CC′于点F,延长AF至点G,使FG=AF,连接CG,C′G,试判断四边形ACGC′的形状,并说明理由.
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【题目】如图所示,在△ABC中,已知AD⊥BC,∠B=64°,∠C=56°,
(1)求∠BAD和∠DAC的度数;
(2)若DE平分∠ADB,求∠AED的度数.
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【题目】一种实验用轨道弹珠,在轨道上行驶5分钟后离开轨道,前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2,后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系,如图,轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分,求:
(1)二次函数和反比例函数的关系式.
(2)弹珠在轨道上行驶的最大速度.
【答案】(1)v=(2<t≤5) (2)8米/分
【解析】分析:(1)由图象可知前一分钟过点(1,2),后三分钟时过点(2,8),分别利用待定系数法可求得函数解析式;
(2)把t=2代入(1)中二次函数解析式即可.
详解:(1)v=at2的图象经过点(1,2),
∴a=2.
∴二次函数的解析式为:v=2t2,(0≤t≤2);
设反比例函数的解析式为v=,
由题意知,图象经过点(2,8),
∴k=16,
∴反比例函数的解析式为v=(2<t≤5);
(2)∵二次函数v=2t2,(0≤t≤2)的图象开口向上,对称轴为y轴,
∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末,为8米/分.
点睛:本题考查了反比例函数和二次函数的应用.解题的关键是从图中得到关键性的信息:自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中,小胖发现若∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,则BD=CE.
(1)在图1中证明小胖的发现;
借助小胖同学总结规律,构造“手拉手”图形来解答下面的问题:
(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=m°,点E为△ABC外一点,点D为BC中点,∠EBC=∠ACF,ED⊥FD,求∠EAF的度数(用含有m的式子表示).
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为4,以AB为一边作等边△ABE,使点E落在正方形ABCD的内部,连接AC交BE于点F,连接CE、DE,则下列说法中:①△ADE≌△BCE;②∠ACE=30°;③AF=CF;④ =2+,其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】阅读材料,用配方法求最值.
已知a,b为非负实数,∵a+b﹣2=()2+()2﹣2=(﹣)2≥0,∴a+b≥2,当且仅当“a=b”时,等号成立.示例:当x>0时,求y=x++1的最小值;
解:y=(x+)+1>2=3,当x=,即x=1时,y的最小值为3.
(1)探究:当x>0时,求y=的最小值;
(2)问题解决:随着人们生活水平的提高,汽车已成为越来越多家庭的交通工具,假设某种汽车的购车费用为10万元,每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元,n年的保养,维修费用总和为万元,问这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少,年平均费用=所有费用:年数n)?最少年平均费用为多少万元?
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【题目】如图,为美化环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.
(1)用含a的式子表示花圃的面积;
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽.
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【题目】如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=40°,则∠CDE的度数为( )
A.50°B.40°C.60°D.80°
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