Question

已知二次函数y=x²-mx+m-2：
（1）求证：不论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当二次函数的图象经过点（3，6）时，确定m的值，并写出此二次函数与坐标轴的交点坐标．．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先计算判别式得到△=（m-2）²+4，再根据非负数的性质得△＞0，然后根据抛物线与x轴的交点问题即可得到结论．
（2）把点（3，6）代入函数解析式中即可求出m的值，也可以求出二次函数的解析式．

解答：（1）证明：△=m²-4（m-2）=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，即△＞0，
∴无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

（2）解：∵二次函数的图象经过点（3，6），
∴6=9-3m+m-2，
∴m=

1

2

，
∴y=x²-

1

2

x-

3

2

．
当x=0时，y=-

3

2

，即该函数图象与y轴交于点（0，-

3

2

）．
当y=0时，x²-

1

2

x-

3

2

=2（x+1）（2x-3）=0，
解得 x₁=-1，x₂=

3

2

．
则该函数图象与x轴的交点坐标是：（-1，0）、（

3

2

，0）．
综上所述，m的值是

1

2

，该函数图象与y轴交于点（0，-

3

2

），与x轴的交点坐标是：（-1，0）、（

3

2

，0）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．