Question

10．如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA₁的长为1，△A₁B₂B₁、△A₂A₃B₂、△A₃A₄B₃…△A_nA_n+1B_n均为等边三角形，点A₁、A₂、A₃…A_n+1在x轴的正半轴上依次排列，点B₁、B₂、B₃…B_n在直线OD上依次排列，B₃的坐标为（6，2$\sqrt{3}$）；点B_n的坐标为（3×2^n-2，$\sqrt{3}$×2^n-2）．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质和∠B₁OA₂=30°，可求得∠B₁OA₂=∠A₁B₁O=30°，可求得OA₂=2OA₁=2，同理可求得OA_n=2^n-1，再结合含30°角的直角三角形的性质可求得△A_nB_nA_n+1的边长，进一步可求得点B_n的坐标．

解答 解：∵△A₁B₁A₂为等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°，
∵∠B₁OA₂=30°，
∴∠B₁OA₂=∠A₁B₁O=30°，可求得OA₂=2OA₁=2，
同理可求得OA_n=2^n-1，
∵∠B_nOA_n+1=30°，∠B_nA_nA_n+1=60°，
∴∠B_nOA_n+1=∠OB_nA_n=30°
∴B_nA_n=OA_n=2^n-1，
即△A_nB_nA_n+1的边长为2^n-1，则可求得其高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2^n-1=$\sqrt{3}$×2^n-2，
∴点B_n的横坐标为$\frac{1}{2}$×2^n-1+2^n-1=$\frac{3}{2}$×2^n-1=3×2^n-2，
∴点B_n的坐标为（3×2^n-2，$\sqrt{3}$×2^n-2），点B₃的坐标为（6，2$\sqrt{3}$）．
故答案为：（6，2$\sqrt{3}$）；（3×2^n-2，$\sqrt{3}$×2^n-2），

点评 本题主要考查等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，根据条件找到等边三角形的边长和OA₁的关系是解题的关键．