Question

2．如图，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA=2OC，将矩形OABC绕原点O逆时针旋转90°，得到矩形ODEF．抛物线y=ax²+bx+c经过F、D、B三个点，其顶点在直线y=$\frac{7}{2}$x-$\frac{1}{12}$上，直线L：y=kx+m经过点E和点A，点P是抛物线y=ax²+bx+c上第一象限任意一点，过点P作x轴的垂线交直线L于点M．
（1）求abc的值；
（2）设P点横坐标为t，求线段PM的长（用t的代数式表示）；
（3）以A、B、P、M四个点为顶点的四边形会是平行四边形吗？如果会，写出点P的坐标，如果不会，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可设F（-m，0），则D（0，2m），B（2m，m），列出方程组求出a、b、c，再利用顶点坐标公式，把顶点坐标代入在直线y=$\frac{7}{2}$x-$\frac{1}{12}$，即可解决问题．
（2）求出直线AE的解析式，即可解决问题．
（3）根据PM=AB列出方程，即可解决问题．

解答 解：（1）由题意可设F（-m，0），则D（0，2m），B（2m，m），
把D、F、B三点坐标代入y=ax²+bx+c可得$\left\{\begin{array}{l}{c=2m}\\{{m}^{2}a-mb+2m=0}\\{4{m}^{2}a+2mb+2m=m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{6m}}\\{b=\frac{7}{6}}\\{c=2m}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{5}{6m}$x²+$\frac{7}{6}$x+2m，
∴抛物线的顶点坐标为（$\frac{7}{10}\\;m$m，$\frac{289}{120}m$），
∵顶点在直线y=$\frac{7}{2}$x-$\frac{1}{12}$上，
∴$\frac{289}{120}$m=$\frac{7}{2}$×$\frac{7}{10}m$-$\frac{1}{12}$，
∴m=2，
∴a=-$\frac{5}{12}$，b=$\frac{7}{6}$，c=4，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{5}{12}$x²+$\frac{7}{6}$x+4，
∴abc=-$\frac{35}{18}$．

（2）（1）可知A（4，0），E（-2，4），设直线AE的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{-2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$，
∵P（t，-$\frac{5}{12}$t²+$\frac{7}{6}$t+4），M（t，-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$），
∴PM=-$\frac{5}{12}$t²+$\frac{7}{6}$t+4-（-$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$）=-$\frac{5}{12}$t²+$\frac{11}{6}$t+$\frac{4}{3}$（0＜t＜$\frac{24}{5}$）．

（3）会是平行四边形．
理由：当PM=AB=2时，
-$\frac{5}{12}$t²+$\frac{11}{6}$t+$\frac{4}{3}$=2，
解得t=$\frac{2}{5}$或4（舍弃），
∴t=$\frac{2}{5}$时，点P坐标（$\frac{2}{5}$，$\frac{22}{5}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法．平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，灵活运用待定系数法，属于中考压轴题．