Question

【题目】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于点A(2，0)、B（一8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．

(1)求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；

(2)设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP·AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；

(3)延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少？

Answer 1

【答案】（1）M(－3,0) （2）定值是20 （3）F(－2,－3)

【解析】(1)、根据点A和点B的坐标得出函数解析式，从而得出点C的坐标以及AB、AC和BC的长度，从而得出△ABC为直角三角形，根据圆的性质得出点M的坐标；(2)、根据题意得出△APB和△AON相似，从而得出答案；(3)、过点B在BE的下面作射线BI，交y轴于点I，过点A做AH⊥BI，垂足为点H,与射线BE的交点即为运动时间最少时点F的位置，过点D做DK⊥BI，垂足为K，根据勾股定理得出点I的坐标，从而得出BI和AH的函数表达式，根据交点问题列出方程得出点F的坐标．

(1)、将A（2，0）、B（－8，0）两点代入得： ，

解得： ，∴抛物线的表达式为： ，∴ C(0，4)，

∴ BC＝4， AC＝2，AB＝10， ∴△ABC为直角三角形,且∠ACB＝90°，

∵∠ACB＝90°， ∴AB为直径， ∴M(－3，0)；

(2)、如图: ∵AB为直径， ∴∠APB＝90°， ∵∠APB＝∠AON, ∠NAO＝∠BAP，

∴△APB∽△AON，∴， ∴AN·AP＝AB·AO＝20，∴为定值,定值是20．

(3)、过点B在BE的下面作射线BI，交y轴于点I，

过点A做AH⊥BI，垂足为点H,与射线BE的交点即为运动时间最少时点F的位置，

过点D做DK⊥BI，垂足为K， ∵BE平分∠ABI，∴DI＝DO＝4，BO＝BK＝8，

设DI＝x,则KI＝2x－8， ∴16＋＝， (舍去)，

∴I(0，) ， ∴BI表达式为:， ∴AH表达式为，

∵BD表达式为， ∴， ∴＝－2， ∴F(－2，－3) ．