Question

10．已知抛物线y=x²+kx+k+2的顶点在x轴上，求出k的值并写出抛物线的解析式．

Answer 1

分析 设顶点式y=（x-t）²，即y=x²-2tx+t²，所以k=-2t，k+2=t²，消去t得到（$\frac{k}{2}$）²=k+2，解得k₁=2+2$\sqrt{3}$，k₂=2-2$\sqrt{3}$，然后写出对应的抛物线解析式．

解答 解：设抛物线解析式为y=（x-t）²，
即y=x²-2tx+t²，
则k=-2t，k+2=t²，
所以（$\frac{k}{2}$）²=k+2，
解得k₁=2+2$\sqrt{3}$，k₂=2-2$\sqrt{3}$，
即k的值为2+2$\sqrt{3}$或2-2$\sqrt{3}$，
抛物线解析式为y=x²+（2+$\sqrt{3}$）x+4+2$\sqrt{3}$或y=x²+（2-$\sqrt{3}$）x+4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．