【题目】如图,点P是直线y=3上的动点,连接PO并将PO绕P点旋转90°到PO′,当点O′刚好落在双曲线(x>0)上时,点P的横坐标所有可能值为_____.
【答案】,.
【解析】
分点P在由在y轴的左侧和点P在y轴的右侧两种情况求解即可.
当点P在由在y轴的左侧时,如图1,过点P作PM⊥x轴于点M,过点O′作O′N垂直于直线y=3于点N,
∵∠OPN+∠NP O′=90°,∠P O′N+∠NP O′=90°,
∴∠OPN=∠P O′N,
∵直线y=3与x轴平行,
∴∠POM=∠O P N ,
∴∠POM=∠P O′N,
在△POM和△P O′N中,
,
∴△POM≌△P O′N,
∴OM= O′N,PM=PN,
设点P的横坐标为t,则OM= O′N=-t,PM=PN=3,
∴GN=3+t,
∴点O′的坐标为(3+t,3-t),
∵点O′在双曲线(x>0)上,
∴(3+t)(3-t)=6,
解得,t=(舍去)或t=-,
∴点P的横坐标为-;
当点P在由在y轴的右侧时,
如图2,过点O′作O′H垂直于直线y=3于点H,
类比图1的方法易求点P的横坐标为,
如图3,过点P作PE⊥x轴于点E,过点O′作O′F垂直于直线y=3于点F,
类比图1的方法易求点P的横坐标为,
综上,点P的横坐标为,.
故答案为:,.
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【题目】(1)如图,已知点在线段上,且,,点、分别是、的中点,求线段的长度;
(2)若点是线段上任意一点,且,,点、分别是、的中点,请直接写出线段的长度;(结果用含、的代数式表示)
(3)在(2)中,把点是线段上任意一点改为:点是直线上任意一点,其他条件不变,则线段的长度会变化吗?若有变化,求出结果.
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【题目】如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE,连接BE、CD,交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;
(2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.
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【题目】如图,∠MON =∠ACB = 90°,AC = BC,AB =5,△ABC顶点A、C分别在ON、OM上,点D是AB边上的中点,当点A在边ON上运动时,点C随之在边OM上运动,则OD的最大值为_____.
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【题目】根据材料,解答问题
如图,数轴上有点,对应的数分别是6,-4,4,-1,则两点间的距离为;两点间的距离为;两点间的距离为;由此,若数轴上任意两点分别表示的数是,则两点间的距离可表示为.反之,表示有理数在数轴上的对应点之间的距离,称之为绝对值的几何意义.
问题应用1:
(1)如果表示-1的点和表示的点之间的距离是2,则点对应的的值为___________;
(2)方程的解____________;
(3)方程的解______________ ;
问题应用2:
如图,若数轴上表示的点为.
(4)的几何意义是数轴上_____________,当__________,的值最小是____________;
(5)的几何意义是数轴上_______,的最小值是__________,此时点在数轴上应位于__________上;
(6)根据以上推理方法可求的最小值是___________,此时__________.
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【题目】目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利,初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查,随机调查了人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)根据图中的信息求出_______,_______;
(2)请你帮助他们将这两个统计图补全,并计算扇形统计图中“支付宝”部分所对应的圆心角的度数为_____;
(3)根据抽样调查的结果,请估算全校2000名学生中,大约有多少人最认可“微信”这一新生事物?
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【题目】如图,直线AB与CD相交于点O,OP是∠BOC的平分线,EO⊥AB于点O,FO⊥CD于点O.
(1)图中除直角外,还有其他相等的角,请写出两对:①______________;②______________.
(2)如果∠AOD=40°,那么:
①根据__________,可得∠BOC=________;
②求∠POF的度数.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),点M(m,n)是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧,并且不在坐标轴上,过点M作x轴的平行线交y轴于点Q,交抛物线于另一点E,直线BM交y轴于点F.
(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标;
(2)当S△MFQ:S△MEB=1:3时,求点M的坐标.
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