Question

8．已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据方程的各项系数结合根的判别式得出△=（k-2）²≥0，此题得证．
（2）分△=0和△≠0两种情况考虑，当△=0时，求出k值，进而找出方程的根，由三角形的三边关系可得出此种情况不合适；当△≠0时，代入x=4求出k值，进而即可求出方程的解，再根据三角形的周长公式即可得出结论．

解答 （1）证明：∵在方程x²-（k+2）x+2k=0中，
△=[-（k+2）]²-4×1×2k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根．
（2）解：当△=（k-2）²=0，即k=2时，原方程为x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∵2+2=4，
∴k=2不合适；
当△=（k-2）²＞0，即k≠2时，
将x=4代入方程x²-（k+2）x+2k=0中，得：16-4（k+2）+2k=0，
解得：k=4，
∴原方程为x²-6x+8=（x-2）（x-4）=0，
解得：x₃=2，x₄=4，
∴C_△ABC=4+2+4=10．
答：△ABC的周长为10．

点评 本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分△=0和△≠0两种情况考虑是解题的关键．