Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且CE=CF，连接AE，AF，取AE的中点M，EF的中点N，连接BM，MN．

（1）请判断线段BM与MN的数量关系和位置关系，并予以证明．

（2）如图2，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BM=MN，BM⊥MN，证明见解析；（2）仍然成立，证明见解析

【解析】

（1）根据已知正方形ABCD的边角相等关系，推出△ABE≌△ADF(SAS)，得出AE=AF，利用MN是△AEF的中位线，BM为Rt△ABE的中线，可得BM=MN，由外角性质，得出∠BME=∠1+∠3，再由MN∥AF，∠1+∠2+∠EAF=∠BAD=90°，等角代换可推出结论；

（2）同（1）思路一样，证明△ABE≌△ADF(SAS)，利用外角性质和中位线平行关系，通过等角代换即得证明结论．

（1）BM=MN，BM⊥MN．

证明：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=BC=DC，

∵CE=CF，

∴BC-CE=DC-CF，

∴BE=DF，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，

∴∠1=∠2，AE=AF，

∵M为AE的中点，N为EF的中点，

∴MN是△AEF的中位线，BM为Rt△ABE的中线．

∴MN∥AF，MN=AF，BM=AE=AM，

∴BM=MN，∠EMN=∠EAF，

∵BM=AM，

∴∠1=∠3， ∠2=∠3，

∴∠BME=∠1+∠3=∠1+∠2，

∴∠BMN=∠BME+∠EMN=∠1+∠2+∠EAF=∠BAD=90°，

∴BM⊥MN．

故答案为：BM=MN，BM⊥MN．

（2）（1）中结论仍然成立．

证明：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=BC=DC，

∴∠ABE=∠ADF=90°，

∵CE=CF，∴CE-BC=CF-DC，∴BE=DF，

∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠1=∠2，AE=AF，

同理（1）得MN∥AF，MN=AF，BM=AE=AM，

∴BM=MN，

同理（1）得∠BME=∠1+∠2，∠EMN=∠EAF，

∴∠BMN=∠EMN-∠BME=∠EAF-(∠1+∠2)=∠BAD=90°，

∴BM⊥MN，

故答案为：结论仍成立．