Question

6．（1）一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和是3120°，求这一内角的度数及多边形的边数
（2）一块正方形瓷砖，截去一个角后，①还剩几个角？②剩下的多边形的内角和是多少度？
试比较下面两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点个两个不同点；
例如：相同点，正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等
不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形．
相同点：①都有相等的边；②都有相等的内角．
不同点：①内角和不同；②对角线的条数不同．
（3）一个多边形截去一个内角后，所得多边形的内角和为2880°，求原多边形的边数．

Answer 1

分析 （1）设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可；
（2）根据一个四边形截去一个角后得到的多边形的边数即可得出结果．
此题要了解正多边形的有关性质：正多边形的各边相等，正多边形的各个角相等，所有的正多边形都是轴对称图形，偶数边的正多边形又是中心对称图形．根据正多边形的性质进行分析它们的相同和不同之处．
（3）首先设新的多边形的边数为n，由多边形内角和公式，可得方程180（n-2）=2880，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案．

解答 解：（1）设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n-2）×180°-x=3120°，
∴x=（n-2）×180°-3120°，
∵0＜x＜180°，
∴0＜（n-2）•180°-3120°＜180°，
∴3120°＜（n-2）•180°＜180°+3120°，
解得：17$\frac{1}{3}$＜n-2＜18$\frac{1}{3}$，
∵n是自然数，
∴n-2=18，n=20，
∴x=180°×18-3120°=120°．
答：这一内角的度数为120°，多边形的边数为20．
（2）∵一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
∴形成的新多边形的内角和可能为180°，可能为360°，也可能为540°．
相同点：①都有相等的边；②都有相等的内角．
不同点：①内角和不同；②对角线的条数不同．
故答案为：都有相等的边；都有相等的内角．内角和不同；对角线的条数不同．
（3）设新的多边形的边数为n，
∵新的多边形的内角和是2880°，
∴180（n-2）=2880，
解得：n=16，
∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是16边形，
∴原多边形的边数可能是：15或16或17．

点评 考查多边形内角和公式的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系．同时考查了多边形内角与外角，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n-2）•180°．