Question

20．已知正方形ABCD中，E为对角线ABD上一点，过E点作EF⊥BD于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG，EG⊥CG；
（2）将图1中的△BEF绕B点旋转任意角度，如图2所示，再连接相应的线段，问：（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线可迅速得出结论；
（2）连接AC、BD交于点M，过点E作EH⊥BF于点H，连接GH、GM，证明△EHG≌△GMC即可．

解答 解：（1）如图1，

∵EF⊥BD，G为DF中点，
∴EG为Rt△EFD斜边中线，
∴EG=DG=GF，
∴∠GED=∠GDE，
同理GC=GD=GF，∠GDC=∠GCD，
∴EG=CG，
∵∠EGF=∠GDE+∠GED=2∠GDE，
∠FGC=∠GDC+∠GCD=2∠GDC，
∴∠EGC=2∠GDE+2∠GDC=2（∠GDE+∠GDC），
∵∠GDE+∠GDC=45°，
∴∠EGC=90°；
（2）成立．
如图2，连接AC、BD交于点M，过点E作EH⊥BF于点H，连接GH、GM，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AM=CM=BM=DM，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EH=FH=BH，
∵G是DF的中点，
∴GH∥BD，GH=BM=DM=AM=CM，
GM∥BF，GM=BH=FH=EH，
∴∠FHG=∠FBM=∠GMD，
∵∠EHG=90°+∠FHG，
∠GMC=90°+∠GMD，
∴∠EHG=∠GMC，
在△EHG和△GMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{HG=MC}\\{∠EHG=∠GMC}\\{EH=GM}\end{array}\right.$，
∴△EHG≌△GMC（SAS），
∴EG=CG，∠EGH=∠GCM，
∵GH∥BD，AC⊥BD，
∴AC⊥GH，
∴∠HGM+∠GMA=90°，
∵∠GMA=∠GCM+∠MGC，
∴∠HGM+∠GCM+∠MGC=90°，
∴∠EGH+∠HGM+∠MGC=90°，
即EG⊥CG．

点评 本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大，尤其是第（2）问，不易想到．其实，本题体现了“中点”的经典用法，在初中阶段，与“中点”有关的知识点和方法并不多，同学们可自行总结一下．本题用到的与“中点”有关的知识点主要是：等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线定理、中位线定理．若同学们熟悉这些知识点，那么辅助线也容易想到，第（2）问也会变得简单．