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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,且点A的坐标为(﹣3,0),点C坐标为(0, ),点B在y轴的负半轴上,抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A和点C

(1)求b,c的值;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△ACQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由
(3)点P是线段AO上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交AB于点E,探究:当点P在什么位置时,四边形MEBC是平行四边形,此时,请判断四边形AECM的形状,并说明理由.

【答案】
(1)

解:∵点A的坐标为(﹣3,0),点C坐标为(0, ),点B在y轴的负半轴上,抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A和点C,

解得:


(2)

解:在抛物线的对称轴上存在点Q,使得△ACQ为等腰三角形,

当AQ=QC,如图1,

由(1)得:y=﹣ x2 x+ =﹣ (x+1)2+

即抛物线对称轴为:直线x=﹣1,则QO=1,AQ=2,

∵CO= ,QO=1,

∴QC=2,

∴AQ=QC,

∴Q(﹣1,0);

当AC=Q1C时,过点C作CF⊥直线x=﹣1,于一点F,

则FC=1,

∵AO=3,CO=

∴AC=2

∴Q1C=2

∴FQ1= ,故Q1的坐标为:(﹣1, + );

当AC=CQ2=2 时,由Q1的坐标可得;Q2(﹣1,﹣ + );

当AQ3=AC=2 时,则QQ3 =2 ,故Q3(﹣1,﹣2 ),根据对称性可知Q4(﹣1,2 )(Q4和Q3关于x轴对称)也符合题意,

综上所述:符合题意的Q点的坐标为:(﹣1,0);(﹣1, + );(﹣1,﹣ + );(﹣1,﹣2 ),(﹣1,2


(3)

解:如图2所示,

当四边形MEBC是平行四边形,则ME=BC,

∵AB=AC,且点A的坐标为(﹣3,0),点C坐标为(0, ),

∴B(0,﹣ ),

则BC=2

设直线AB的解析式为:y=kx+e,

解得:

故直线AB的解析式为:y=﹣ x﹣

设E(x,﹣ x﹣ ),M(x,﹣ x2 x+ ),

故ME=﹣ x2 x+ + x+ =﹣ x2 x+2 =2

解得:x1=0(不合题意舍去),x2=﹣1,

故P点在(﹣1,0),此时四边形MEBC是平行四边形;

四边形AECM是梯形,

理由:∵四边形MEBC是平行四边形,

∴MC∥AB,

∵CO= ,AO=3,

∴∠CAO=30°,

∵AC=AB,AO⊥BC,

∴∠BAO=30°,

∴∠BAC=60°,

∴△ABC是等边三角形,

∵AC=BC,ME=BC,所以AC=ME,

∴四边形AECM是等腰梯形.


【解析】(1)直接利用待定系数法求出抛物线解析式得出即可;(2)利用当AQ=QC,以及当AC=Q1C时,当AC=CQ2=2 时,当AQ3=AC=2 时,分别得出符合题意的答案即可;(3)利用平行四边形的性质首先得出BC的长,进而表示出线段ME的长,进而求出答案,再利用梯形的判定得出答案.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小即可以解答此题.

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例如:如图1,

△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,3),B(2,1),C(﹣1,﹣2),则Dx=|2﹣(﹣1)|=3,Dy=|3﹣(﹣2)|=5,
所以λ= =
(1)如图2,

点A(1,0),
①点B(2,1),E(﹣1,2),
则△AOB的纵横比λ1=
△AOE的纵横比λ2=
②点F在第四象限,若△AOF的纵横比为1,写出一个符合条件的点F的坐标
③点M是双曲线y= 上一个动点,若△AOM的纵横比为1,求点M的坐标
(2)如图3,

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分数段

频数

频率

50.5﹣60.5

16

0.08

60.5﹣70.5

40

0.2

70.5﹣80.5

50

0.25

80.5﹣90.5

m

0.35

90.5﹣100.5

24

n


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看法

频数

频率

赞成

5

无所谓

0.1

反对

40

0.8


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