【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,且点A的坐标为(﹣3,0),点C坐标为(0, ),点B在y轴的负半轴上,抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A和点C
(1)求b,c的值;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△ACQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由
(3)点P是线段AO上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交AB于点E,探究:当点P在什么位置时,四边形MEBC是平行四边形,此时,请判断四边形AECM的形状,并说明理由.
【答案】
(1)
解:∵点A的坐标为(﹣3,0),点C坐标为(0, ),点B在y轴的负半轴上,抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A和点C,
∴ ,
解得: ;
(2)
解:在抛物线的对称轴上存在点Q,使得△ACQ为等腰三角形,
当AQ=QC,如图1,
由(1)得:y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ (x+1)2+ ,
即抛物线对称轴为:直线x=﹣1,则QO=1,AQ=2,
∵CO= ,QO=1,
∴QC=2,
∴AQ=QC,
∴Q(﹣1,0);
当AC=Q1C时,过点C作CF⊥直线x=﹣1,于一点F,
则FC=1,
∵AO=3,CO= ,
∴AC=2 ,
∴Q1C=2 ,
∴FQ1= ,故Q1的坐标为:(﹣1, + );
当AC=CQ2=2 时,由Q1的坐标可得;Q2(﹣1,﹣ + );
当AQ3=AC=2 时,则QQ3 =2 ,故Q3(﹣1,﹣2 ),根据对称性可知Q4(﹣1,2 )(Q4和Q3关于x轴对称)也符合题意,
综上所述:符合题意的Q点的坐标为:(﹣1,0);(﹣1, + );(﹣1,﹣ + );(﹣1,﹣2 ),(﹣1,2 )
(3)
解:如图2所示,
当四边形MEBC是平行四边形,则ME=BC,
∵AB=AC,且点A的坐标为(﹣3,0),点C坐标为(0, ),
∴B(0,﹣ ),
则BC=2 ,
设直线AB的解析式为:y=kx+e,
故 ,
解得: ,
故直线AB的解析式为:y=﹣ x﹣ ,
设E(x,﹣ x﹣ ),M(x,﹣ x2﹣ x+ ),
故ME=﹣ x2﹣ x+ + x+ =﹣ x2﹣ x+2 =2 ,
解得:x1=0(不合题意舍去),x2=﹣1,
故P点在(﹣1,0),此时四边形MEBC是平行四边形;
四边形AECM是梯形,
理由:∵四边形MEBC是平行四边形,
∴MC∥AB,
∵CO= ,AO=3,
∴∠CAO=30°,
∵AC=AB,AO⊥BC,
∴∠BAO=30°,
∴∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∵AC=BC,ME=BC,所以AC=ME,
∴四边形AECM是等腰梯形.
【解析】(1)直接利用待定系数法求出抛物线解析式得出即可;(2)利用当AQ=QC,以及当AC=Q1C时,当AC=CQ2=2 时,当AQ3=AC=2 时,分别得出符合题意的答案即可;(3)利用平行四边形的性质首先得出BC的长,进而表示出线段ME的长,进而求出答案,再利用梯形的判定得出答案.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小即可以解答此题.
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【题目】为推广阳光体育“大课间”活动,我市某中学决定在学生中开设A:实心球,B:立定跳远,C:跳绳,D:跑步四种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
(2)请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比,并将两个统计图补充完整;
(3)若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生,2名女生.现从这5名学生中任意抽取2名学生.请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
(3)将抛物线y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数)图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G,若与直线y=x+2有三个交点,请直接写出m的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点坐标分别是A(x1 , y1),B(x2 , y2),C(x3 , y3),对于△ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义:
将|x1﹣x2|,|x2﹣x3|,|x3﹣x1|中的最大值,称为△ABC的横长,记作Dx;将|y1﹣y2|,|y2﹣y3|,|y3﹣y1|中的最大值,称为△ABC的纵长,记作Dy;将 叫做△ABC的纵横比,记作λ= .
例如:如图1,
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(0,3),B(2,1),C(﹣1,﹣2),则Dx=|2﹣(﹣1)|=3,Dy=|3﹣(﹣2)|=5,
所以λ= = .
(1)如图2,
点A(1,0),
①点B(2,1),E(﹣1,2),
则△AOB的纵横比λ1=
△AOE的纵横比λ2=;
②点F在第四象限,若△AOF的纵横比为1,写出一个符合条件的点F的坐标;
③点M是双曲线y= 上一个动点,若△AOM的纵横比为1,求点M的坐标;
(2)如图3,
点A(1,0),⊙P以P(0, )为圆心,1为半径,点N是⊙P上一个动点,直接写出△AON的纵横比λ的取值范围.
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【题目】小聪计划中考后参加“我的中国梦”夏令营活动,需要一名家长陪同,爸爸、妈妈用猜拳的方式确定由谁陪同,即爸爸、妈妈都随机作出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势(如图)中的一种,规定:“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”,手势相同,不分胜负
(1)爸爸一次出“石头”的概率是多少?
(2)妈妈一次获胜的概率是多少?请用列表或画树状图的方法加以说明.
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【题目】如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=3,OC=2,将矩形OABC向上平移4个单位得到矩形O1A1B1C1 .
(1)若反比例函数y= 和y= 的图象分别经过点B、B1 , 求k1和k2的值;
(2)将矩形O1A1B1C1向左平移得到O2A2B2C2 , 当点O2、B2在反比例函数y= 的图象上时,求平移的距离和k3的值.
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【题目】2013年3月28日是全国中小学生安全教育日,某学校为加强学生的安全意识,组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛,从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图,解答下列问题: 频率分布表
分数段 | 频数 | 频率 |
50.5﹣60.5 | 16 | 0.08 |
60.5﹣70.5 | 40 | 0.2 |
70.5﹣80.5 | 50 | 0.25 |
80.5﹣90.5 | m | 0.35 |
90.5﹣100.5 | 24 | n |
(1)这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计,其中:m= , n=;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强,有待进一步加强安全教育,则该校安全意识不强的学生约有多少人?
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数 的图象上.若点A的坐标为(﹣2,﹣2),则k的值为( )
A.1
B.﹣3
C.4
D.1或﹣3
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【题目】当前,“校园手机”现象已经受到社会广泛关注,某数学兴趣小组对“是否赞成中学生带手机进校园”的问题进行了社会调查.小文将调查数据作出如下不完整的整理: 频数分布表
看法 | 频数 | 频率 |
赞成 | 5 | |
无所谓 | 0.1 | |
反对 | 40 | 0.8 |
(1)请求出共调查了多少人;并把小文整理的图表补充完整;
(2)小丽要将调查数据绘制成扇形统计图,则扇形图中“赞成”的圆心角是多少度?
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