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【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
(3)将抛物线y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数)图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G,若与直线y=x+2有三个交点,请直接写出m的取值范围.

【答案】
(1)证明:∵△=(﹣2m)2﹣4×1×(m2+3)=4m2﹣4m2﹣12=﹣12<0,

∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解,

即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点


(2)解:y=x2﹣2mx+m2+3=(x﹣m)2+3,

把函数y=(x﹣m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x﹣m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),

因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,

所以,把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点


(3)解:翻折后所得图象的解析式y=﹣(x﹣m)2+3,

①当直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+3有一个交点时,则

整理得,x2﹣(2m+1)x+m2+1=0

∴△=(2m+1)2﹣4(m2+1)=0,即m=

②当直线y=x+2与抛物线y=﹣(x﹣m)2+3有一个交点时,则

整理得,x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0,

∴△=(2m﹣1)2﹣4(m2﹣1)=0,即m=

∴当 <m< 时,新图象为G,与直线y=x+2有三个交点


【解析】(1)求出根的判别式,即可得出答案;(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可.(3)求出翻折后所得图象的解析式,然后分别求出原图象和直线,翻折后所得图象与直线有一个交点时的m的值,即可求得新图象为G与直线y=x+2有三个交点时的m的取值.

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组别

身高(cm)

A

150≤x<155

B

155≤x<160

C

160≤x<165

D

165≤x<170

E

170≤x<175

根据图表提供的信息,有下列几种说法
①估计报名者中男生身高的众数在D组;
②估计报名者中女生身高的中位数在B组;
③抽取的样本中,抽取女生的样本容量是38;
④估计身高在160cm至170cm(不含170cm)的学生约有400人
其中合理的说法是( )

A.①②
B.①④
C.②④
D.③④

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