【题目】已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
(3)将抛物线y=x2﹣2mx+m2+3(m是常数)图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G,若与直线y=x+2有三个交点,请直接写出m的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵△=(﹣2m)2﹣4×1×(m2+3)=4m2﹣4m2﹣12=﹣12<0,
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解,
即不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点
(2)解:y=x2﹣2mx+m2+3=(x﹣m)2+3,
把函数y=(x﹣m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x﹣m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),
因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
所以,把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点
(3)解:翻折后所得图象的解析式y=﹣(x﹣m)2+3,
①当直线y=x+2与抛物线y=x2﹣2mx+m2+3有一个交点时,则 ,
整理得,x2﹣(2m+1)x+m2+1=0
∴△=(2m+1)2﹣4(m2+1)=0,即m= .
②当直线y=x+2与抛物线y=﹣(x﹣m)2+3有一个交点时,则 ,
整理得,x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣1=0,
∴△=(2m﹣1)2﹣4(m2﹣1)=0,即m= .
∴当 <m< 时,新图象为G,与直线y=x+2有三个交点
【解析】(1)求出根的判别式,即可得出答案;(2)先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可.(3)求出翻折后所得图象的解析式,然后分别求出原图象和直线,翻折后所得图象与直线有一个交点时的m的值,即可求得新图象为G与直线y=x+2有三个交点时的m的取值.
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【题目】如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)
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【题目】如图,已知一次函数y= x﹣3与反比例函数y= 的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.
(1)填空:n的值为 , k的值为;
(2)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标;
(3)观察反比例函数y= 的图象,当y≥﹣2时,请直接写出自变量x的取值范围.
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【题目】对于钝角α,定义它的三角函数数值如下: sinα=sin(180°﹣α),cosα=﹣cos(180°﹣α).
(1)求sin135°,cos150°的值;
(2)若一个三角形的三个内角的比为1:1:4,A,B是这个三角形的两个顶点,且∠A≤∠B,sinA,cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根,求m值及∠A,∠B的大小.
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【题目】如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数 (k为常数,且k≠0)的图象都经过点A(m,2).
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式;
(2)设一次函数y=x+1的图象与x轴交于点B,若点P是x轴上一点,且满足△ABP的面积是2,直接写出点P的坐标.
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【题目】某大型文体活动需招募一批学生作为志愿者参与服务,已知报名的男生有420人,女生有400人,他们身高均在150≤x<175之间,为了解这些学生身高的具体分别情况,从中随机抽取若干学生进行抽样调查,抽取的样本中,男生比女生多2人,利用所得数据绘制如下统计图表:
组别 | 身高(cm) |
A | 150≤x<155 |
B | 155≤x<160 |
C | 160≤x<165 |
D | 165≤x<170 |
E | 170≤x<175 |
根据图表提供的信息,有下列几种说法
①估计报名者中男生身高的众数在D组;
②估计报名者中女生身高的中位数在B组;
③抽取的样本中,抽取女生的样本容量是38;
④估计身高在160cm至170cm(不含170cm)的学生约有400人
其中合理的说法是( )
A.①②
B.①④
C.②④
D.③④
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【题目】直线y=﹣2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)经过点A,与y轴交于点C,且OC=OA.
(1)求点A的坐标及k的值;
(2)点C在x轴的上方,点P在直线y=﹣2x+4上,若PC=PB,求点P的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,且点A的坐标为(﹣3,0),点C坐标为(0, ),点B在y轴的负半轴上,抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A和点C
(1)求b,c的值;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△ACQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由
(3)点P是线段AO上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交AB于点E,探究:当点P在什么位置时,四边形MEBC是平行四边形,此时,请判断四边形AECM的形状,并说明理由.
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【题目】李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家拿道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(单位:米/分)是多少?
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校?
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