Question

16．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点．
（1）求A，C坐标；
（2）若点Q（a，2a-6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别将x=0和y=0代入即可求出A，C坐标；
（2）分两种情况：作辅助线，构建两个全等三角形，通过AE=FQ列关于a的方程，解出即可．

解答 解：（1）当x=0时，y=6，
∴A（0，6），
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x+6=0，
x=8，
∴C（8，0）；
（2）由题可知：点Q是直线y=2x-6上一点，
如图1，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F，
∵Q（a，2a-6），
∴AE=2a-6-6=2a-12，FQ=8-a，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ=PQ，∠AQP=90°，
∴∠EQA+∠PQF=90°，
∵∠AEQ=90°，
∴∠EAQ+∠EQA=90°，
∴∠PQF=∠EAQ，
在△AQE和△QPF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEQ=∠QFP}\\{∠EAQ=∠PQF}\\{AQ=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△QFP（AAS），
∴AE=FQ，
则2a-12=8-a，
a=$\frac{20}{3}$；
如图2，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F，
∵Q（a，2a-6），
∴AE=6-（2a-6）=12-2a，FQ=8-a，
同理得：△AQE≌△QFP，
∴AE=FQ，
则是12-2a=8-a，
a=4；
综上所述，当点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形时，a的值是4或$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形、矩形、全等三角形的性质和判定、一次函数图象上点的坐标特征，明确等腰直角三角形时，利用辅助线构建两全等三角形的作法，并熟练掌握全等三角形的判定方法，利用点Q的坐标表示线段的长，找等量关系列方程可解出．