Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A(﹣，0)，B(，0)，C(0，).D，E分别是线段AC和CB上的点，CD＝CE.将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α.

(1)若0°＜α＜90°，在旋转过程中当点A，D，E在同一直线上时，连接AD，BE，如图2.求证：AD＝BE，且AD⊥BE

(2)若0°＜α＜360°，D，E恰好是线段AC和CB上的中点，在旋转过程中，当DE∥AC时，求α的值及点E的坐标.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)α=45°时，点E的坐标为(1，)；α=225°时，点E的坐标为(﹣1，)

【解析】

(1)证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，则结论得证；

(2)由勾股定理求出AC长，可求出CD 的长，如图1，当α＝∠ACO＝45°时，求出点E的坐标为(1，)，如图2，当α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°时，求出点E的坐标为(﹣1，).

(1)∵点A(﹣，0)，B(，0)，C(0，)，

∴OC垂直平分AB，OA＝OB＝OC，

∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，

根据旋转的性质得，∠ACD＝∠BCE，

又∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∴∠BAE+∠ABE＝(∠CAB﹣∠CAD)+(∠ABC+∠CBE)＝90°，

∴∠AEB＝180°﹣(∠BAE+∠ABE)＝90°，即AD⊥BE；

(2)由(1)知，∠ACB＝90°，AC＝BC，

在Rt△AOC中，AC＝＝2，

∵D，E是线段AC和CB上的中点，

∴＝1，

如图1，当α＝∠ACO＝45°时，即∠ACO＝∠CDE＝45°，

∴AC∥DE，

此时点E的坐标为(1，)，

如图2，当α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°时，

即∠ACO＝∠CD′E′＝45°，

∴AC∥D′E′，

此时点E的坐标为(﹣1，).