Question

如图，在五边形ABCDE中，AB=BC，N为BC延长线上一点，过N作∠ANM=∠ABC=∠BCD，交∠BCD的外角平分线于M，试问AN=NM成立吗？

Answer 1

考点：四点共圆,三角形内角和定理,等腰三角形的判定与性质,圆周角定理,圆内接四边形的性质

专题：证明题

分析：连接AC、AM，易证∠BAC=∠BCA=∠NCM=∠DCM，从而得到∠ACM=∠BCD=∠ANM，进而得到A、C、N、M四点共圆，然后根据圆周角定理可得∠NAM=∠NCM，根据圆内接四边形的性质可得∠BCA=∠NMA，就可得到∠NMA=∠NAM，从而有AN=NM．

解答：答：AN=NM成立
证明：连接AC、AM，如图．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAC=∠BCA=

180°-∠ABC

2

．
∵CM平分∠NCD，
∴∠NCM=∠DCM，
∴∠NCM=∠DCM=

180°-∠BCD

2

．
∵∠ANM=∠ABC=∠BCD，
∴∠BAC=∠BCA=∠NCM=∠DCM，
∴∠ACM=∠ACD+∠DCM=∠ACD+∠BCA=∠BCD=∠ANM，
∴A、C、N、M四点共圆，
∴∠NAM=∠NCM，∠BCA=∠NMA，
∵∠BCA=∠NCM，
∴∠NMA=∠NAM，
∴AN=NM．

点评：本题考查了四点共圆的判定、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质、角平分线的性质等知识，证到∠ACM=∠BCD=∠ANM，进而得到A、C、N、M四点共圆是解决本题的关键．