Question

如图 1，四边形 OABC 中，OA=a，OC=8，^∠AOC=^∠BCO=90°，经过点 O 的直线 l 将四边形分 成两部分，直线 l 与 OC 所成的角设为 θ，将四边形 OABC 的直角^∠OCB 沿直线 l 折叠，点 C 落在 点 D 处（如图 1）．

（1）若点 D 与点 A 重合，则 θ=        ，a=          ； 若折叠后点 D 恰为 AB 的中点（如图 2），求 θ 的度数．

Answer 1

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】（1）利用轴对称的性质即可解决问题；

延长 MD、OA，交于点 N，如图 2．易证^△BDM^≌△ADN，则有 DM=DN，根据垂直平分线的性质 可得 OM=ON，根据等腰三角形的性质可得^∠MOD=^∠NOD，从而就可求出 θ．

【解答】解：（1）若点 D 与点 A 重合， 则 θ=^∠COA=45°，OA=OC=8．

故答案为：45°，8．

如图：延长 MD、OA，交于点 N．

^∵∠AOC=^∠BCO=90°，

^∴∠AOC+^∠BCO=180°，

^∴BC^∥OA，

^∴∠B=^∠DAN． 在^△BDM 和^△ADN 中，

，

^∴△BDM^≌△ADN（ASA），

^∴DM=DN．

^∵∠ODM=^∠OCM=90°，

^∴根据线段垂直平分线的性质可得 OM=ON，

^∴根据等腰三角形的性质可得^∠MOD=^∠NOD． 由折叠可得^∠MOD=^∠MOC=θ，

^∴∠COA=3θ=90°，

^∴θ=30°．