Question

以四边形的边为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为，顺次连结这四个点，得四边形．如图1，当四边形为正方形时，我们发现四边形是正方形.

（1）如图2，当四边形为矩形时，请判断：四边形的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形为一般平行四边形时，若，

 ①试求的度数；

 ②求证：；

 ③请判定四边形是什么四边形？并说明理由．

Answer 1

（1）四边形EFGH是正方形．…………2分

(2) ①∵∠ADC=，

在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD=180°－∠ADC=140°；

∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，

∴∠HAE=360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－140°＝130°.………4分

②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴△AEB≌△CGD，∴AE=BE=CG=DG，

在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，

∴∠DHA=∠CDG= 45°，∴∠HDG＝∠HAE．

∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．…………6分

③四边形EFGH是正方形．

由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，

∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，

又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，

∴四边形EFGH是正方形．………………9分