Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt^△OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3，   ）， 点 C 的坐标为（1，0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则^△PAC 周长的最小值为                                                           ．

Answer 1

+2【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

【分析】作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN^⊥OA 于 N，则此 时 PA+PC 的值最小，求出 AM，求出 AD，求出 DN、CN，根据勾股定理求出 CD，即可得出答案．

【解答】解：作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN^⊥OA 于 N， 则此时 PA+PC 的值最小，

^∵DP=PA，

^∴PA+PC=PD+PC=CD，

^∵B（3，    ），

^∴AB=       ，OA=3，^∠B=60°，由勾股定理得：OB=2 ， 由三角形面积公式得： ×OA×AB= ×OB×AM，

^∴AM= ，

^∴AD=2× =3，

^∵∠AMB=90°，^∠B=60°，

^∴∠BAM=30°，

^∵∠BAO=90°，

^∴∠OAM=60°，

^∵DN^⊥OA，

^∴∠NDA=30°，

^∴AN= AD= ，由勾股定理得：DN= ，

^∵C（1，0），

^∴CN=AC﹣AN=2﹣  =  ，