Question

【题目】如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P.

(1)求证：CE=EP.

(2)若点E的坐标为(3，0)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在点M的坐标为(0，2).

【解析】（1）在OC上截取OK=OE．连接EK，求出∠KCE=∠CEA，根据ASA推出△CKE≌△EAP，根据全等三角形的性质得出即可；

（2）过点B作BM∥PE交y轴于点M，根据ASA推出△BCM≌△COE，根据全等三角形的性质得出BM=CE，求出BM=EP．根据平行四边形的判定得出四边形BMEP是平行四边形，即可求出答案．

（1）在OC上截取OK=OE．连接EK，如图1．

∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°．

∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP=45°，∴∠EKC=∠PAE=135°，∴CK=EA．

∵EC⊥EP，∴∠CEF=∠COE=90°，

∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，∴∠KCE=∠CEA．

在△CKE和△EAP中，∵ ，

∴△CKE≌△EAP，∴EC=EP；

（2）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．

如图，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，如图2，

则∠CQB=∠CEP=90°，所以∠OCE=∠CBQ．

在△BCM和△COE中，∵，

∴△BCM≌△COE，∴BM=CE．

∵CE=EP，∴BM=EP．

∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形．

∵△BCM≌△COE，∴CM=OE=3，∴OM=CO﹣CM=2．

故点M的坐标为（0，2）．