Question

我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：

AB

DC

=

BE

EC

；
（3）如图3，在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，则四边形ABCD是不是“准等腰梯形”？请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）过点A作AE∥CD交BC于点E，则△ABE和四边形AECD就是所求作的图形；
（2）由AB∥DE，AE∥DC，就可以得出∠B=∠DEC，∠AEB=∠C，就可以得出△ABE∽△DEC，就可以得出结论；
（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，由角平分线的性质就可以得出EF=EG=EH，就可以得出△BEF≌△BEH，就可以得出∠FBE=∠HCE，从而得出∠ABC=∠DCB而得出结论．

解答：解：（1）如图，过点A作AE∥CD交BC于点E，
∴∠AEB=∠C．
∵∠B=∠C
∴∠AEB=∠B，
∴AB=AE，
∴△ABE是等腰三角形；
∵AE∥CD，AD≠CD，
∴四边形AECD是梯形．
∴△ABE和四边形AECD就是所求作的图形；

（2）∵AB∥DE，AE∥DC，
∴∠B=∠DEC，∠AEB=∠C．
∵∠B=∠C，
∴∠AEB=∠DEC
∴△ABE∽△DCE，
∴

AB

DC

=

BE

EC

；

（3）四边形ABCD是“准等腰梯形”．
理由：作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠EFB=∠EHC=90°，EF=EG=EH．
在Rt△BEF和Rt△CEH中

BE=CE EF=EH

，
∴Rt△BEF≌Rt△CEH（HL）；
∴∠FBE=∠HCE．
∵BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠EBC+∠FBE=∠ECB+∠HCE，
∴∠ABC=∠HCB．
∴四边形ABCD是“准等腰梯形”．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用等腰三角形的性质求解是关键．