Question

15．如图，在边长为1的正三角形ABC中，P是AC边上的一个动点，（不与两端重合），设PC=x，△ABP的面积为S
（1）求S关于x的函数式，并求自变量x的取值范围；
（2）分别求当x=0.2、0.5时，函数S的值．

Answer 1

分析 （1）先求出AC边长的高线，然后根据三角形的面积公式可求得S与x的函数关系式；
（2）将x的值代入求得S的值即可．

解答 解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D．

∵△ABC为正三角形，BD⊥AC，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}∠ABC$=30°．
∴BD=AB•cos30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PC=x，AC=1，
∴AP=1-x．
∴S=$\frac{1}{2}AP•BD$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}（1-x）$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴S与x的函数关系式为：S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}x+\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（2）当x=0.2时，S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{5}+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
当x=0.5时，S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查的是求函数的关系式，求得AC边上的高线的长度是解题的关键．