Question

【题目】如图，四边形中，，，，将绕点逆时针旋转至，延长交于点．

求证：四边形是矩形；

若，，求的长．

Answer 1

【答案】证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据平行线求出∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，根据旋转得出DE=DC，∠EDC=90°，根据等腰三角形性质求出∠AFC=90°，根据矩形的判定即可得出结论；

（2）求出AF和DF，求出DF=EF=1，根据勾股定理求出即可．

（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，∴∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°．

∵将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，∴DE=DC，∠EDC=90°，∴∠EDF=45°=∠FDC，∴DF⊥CE，∴∠AFC=90°，即∠B=∠BAF=∠AFC=90°，∴四边形ABCF是矩形；

（2）∵四边形ABCF是矩形，∴AF=BC=3，∴DF=3﹣2=1．

∵∠EDF=45°，∠DFE=90°，∴∠DEF=∠EDF=45°，∴DF=EF=1．在Rt△AFE中，由勾股定理得：AE===．