Question

1．已知：如图1，正方形AMNS的边长为3，A、S均在x轴上，它与y轴的正半轴交于点C，将正方形沿直线y=$\frac{1}{3}x+m$翻折，点A恰好与点C重合，抛物线y=ax²+bx+c经过A、C、N三点．

（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）如图2，若抛物线与x轴的另一交点为B，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP并延长交y轴于Q，过Q作BQ的垂线交直线CP于R，问是否存在这样的点P，使得BQ=RQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到C（0，3），设点A的坐标是（a，0），根据翻折变换的性质求出m的值，根据待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点P的坐标是（a，-a²-2a+3），表示出BP所在的直线的解析式和RQ所在的直线的解析式，根据BQ=RQ，列出关系式，运用分情况讨论思想进行解答即可．

解答 解：（1）∵正方形AMNS的边长为3，
∴C（0，3），
设点A的坐标是（a，0），
∵将正方形沿直线y=$\frac{1}{3}x+m$翻折，点A恰好与点C重合，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}×\frac{a}{2}+m=\frac{3}{2}}\\{\frac{3-0}{0-a}×\frac{1}{3}=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{m=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴m的值是$\frac{4}{3}$；
∴A（1，0），S（-2，0），N（-2，3），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、C、N三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{c=3}\\{4a-2b+c=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式是y=-x²-2x+3．
（2）存在这样的点P，使得BQ=RQ．
如图2，设点P的坐标是（a，-a²-2a+3），BP所在的直线的解析式是y=kx+b，
则k=$\frac{{-a}^{2}-2a+3}{a+3}$=1-a，
由-3（1-a）+b=0，
解得b=3-3a，
∴BP所在的直线的解析式是：y=（1-a）x+3-3a，
∴点Q的坐标是（0，3-3a），
∴RQ所在的直线的解析式是：y=$\frac{1}{a-1}x+3-3a$，
∵C（0，3），P（a，-a²-2a+3），
∴CP所在的直线的斜率是：$\frac{{-a}^{2}-2a+3-3}{a}=-a-2$，
∴CP所在的直线的解析式是：y=-（a+2）x+3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{a-1}x+3-3a}\\{y=-（a+2）x+3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3a（a-1）}{{a}^{2}+a-1}}\\{y=\frac{-{3a}^{3}+9a-3}{{a}^{2}+a-1}}\end{array}\right.$
∵BQ=RQ，
∴BQ²=RQ²，
∴9+（3-3a）²=$\frac{{{9a}^{2}（a-1）}^{2}}{{{（a}^{2}+a-1）}^{2}}+\frac{{9a}^{2}}{{{（a}^{2}+a-1）}^{2}}$，
整理，可得
（a²-2a+2）[${（\frac{a}{{a}^{2}+a-1}）}^{2}$-1]=0，
∵a²-2a+2=（a-1）²+1＞0，
∴$\frac{a}{{a}^{2}+a-1}=1$或$\frac{a}{{a}^{2}+a-1}=-1$，
①当$\frac{a}{{a}^{2}+a-1}=1$时，
解得a=±1，
∵点P为第二象限内抛物线上一点，
∴a=-1，-a²-2a+3=-1+2+3=4，
∴点P的坐标是（-1，4）．
②当$\frac{a}{{a}^{2}+a-1}=-1$时，
解得a=-1±$\sqrt{2}$，
∵点P为第二象限内抛物线上一点，
∴a=-1-$\sqrt{2}$，-a²-2a+3=-（3+2$\sqrt{2}$）-2（-1-$\sqrt{2}$）+3=2，
∴点P的坐标是（-1-$\sqrt{2}$，4）．
综上，可得存在这样的点P，使得BQ=RQ，点P的坐标是（-1，4）或（-1-$\sqrt{2}$，4）．

点评 本题考查的是二次函数的综合运用、翻折变换的性质，综合运用二次函数的知识、掌握一元二次方程的解法是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．