Question

13．如图，点O是△ABC的边AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点D，且AD=CD，E是射线OB上一点，DF∥AB交CE于点F，若OA=4，∠A=45°．
（1）求⊙O的半径．
（2）若E在OB上且BE=$\sqrt{2}$，求EF的长．
（3）若以E为圆心，EF为半径的圆⊙E与⊙O相切，试求⊙E的半径．

Answer 1

分析 （1）连接DO，易证△ADO是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形斜边与直角边的关系求解即可；
（2）连接DO，CO，易得OD垂直平分AC，由此可得OC的值，在RT△COE中，利用勾股定理可求得EF的值；
（3）分两种情况：①当⊙E与⊙O相切于点B时，②当⊙E与⊙O相切于点M时，分别求解即可．

解答 解：（1）如图，连接DO，

∵AC与⊙O相切于点O，
∴∠ADO=90°，
∵∠A=45°，
∴AO=$\sqrt{2}$OD，
∵OA=4，
∴OD=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
（2）如图1，连接DO，CO，

∵AC与⊙O相切于点O，
∴∠ADO=90°，
∵AD=CD，
∴OD垂直平分AC，
∴OC=AO=4，
∵DF∥AB，
∴点F为CF中点，
在RT△COE中，
∵CE=$\sqrt{C{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+2}$=3$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
（3）①如图2，当⊙E与⊙O相切于点B时，连接CO，

在RT△COE中，
∵CE²=CO²+OE²，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}+EF）^{2}}$，解得EF=$\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{5}}{3}$，EF=$\frac{2\sqrt{2}-4\sqrt{5}}{3}$（舍去），
②如图3，当⊙E与⊙O相切于点M时，连接CO，

在RT△COE中，
∵CE²=CO²+OE²，
∴2EF=CE=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}-EF）^{2}}$，解得EF=$\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{5}}{3}$（舍去），EF=$\frac{4\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{3}$，
综上所述：⊙E的半径为：$\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{5}}{3}$或$\frac{4\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题主要考查了圆的综合题，涉及切线定理，三角形的中位线，两圆相切及中垂线定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，分类讨论．