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【题目】已知抛物线经过点A-10),B30)两点,与y轴交点于C0-3).

1)确定该抛物线的解析式,并求出顶点D的坐标;

2)在抛物线的对称轴上找一点M使得∠AMC90°,请求出满足条件的所有的点M的坐标;

3)抛物线上是否存在一点P,使得∠APB=∠ACO ?若存在,请求出P点的横坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1yx2-2x-3,顶点D1-4);(2M1-1)或(1-2);(3)存在,P点横坐标 1+1-

【解析】

1)由抛物线与轴的两个交点已知,设抛物线为C的坐标代入即可得到答案,

2)由抛物线的对称轴,设交对称轴于,利用勾股定理列方程可得到答案,

3)以AB为底边,作顶角为2ACO的等腰三角形HAB,以H为圆心,HA为半径作⊙H,与抛物线的交点为P,则满足∠APB=ACO,对称轴与交于点 ,求解的坐标,利用HP=HA列方程求解即可.

解:(1 抛物线经过点A-10),B30),

设抛物线为:

C0-3)代入得:

抛物线为:

抛物线的顶点为:

2)由(1)知:抛物线的对称轴为: 且与轴交于点E,

交对称轴于

解得:

3)存在点P的坐标使得∠APB=ACO成立,

如图,以AB为底边,作顶角为2ACO的等腰三角形HAB,以H为圆心,HA为半径作⊙H,与抛物线的交点为P,则满足∠APB=ACO,对称轴与交于点

当点HAB上方时,

H16).

Pxy),其中

HP=HA,得

y=0(舍去)或y=11

解得

P点的横坐标为:

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