Question

【题目】如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．

（1）求证：AB＝AC；

（2）联结OM、ON、MN，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；

（2）联结OB，OM，ON，MN，首先证明，然后再证明，根据相似三角形的性质即可得出答案．

证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：

∵AO平分∠BAC．

∴OD＝OE．

，

．

，

，

∴AB＝AC；

（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，

∵AM＝CN，AB＝AC

∴BM＝AN．

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠BAO．

∵∠BAO＝∠OAN，

∴∠B＝∠OAN，

∴△BOM≌△AON（SAS），

∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，

∴∠AOB＝∠MON，

∴△NOM∽△BOA，

∴．