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【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图),已知经过点A(﹣30)的抛物线yax2+2ax3y轴交于点C,点B与点A关于该抛物线的对称轴对称,D为该抛物线的顶点.

1)直接写出该抛物线的对称轴以及点B的坐标、点C的坐标、点D的坐标;

2)联结ADDCCB,求四边形ABCD的面积;

3)联结AC.如果点E在该抛物线上,过点Ex轴的垂线,垂足为H,线段EH交线段AC于点F.当EF2FH时,求点E的坐标.

【答案】1)对称轴为x=﹣1,点BCD的坐标依次为(10),(0,﹣3),(﹣1,﹣4);(29;(3)(﹣2,﹣3).

【解析】

1)由题意可知该抛物线的对称轴为直线x=﹣1,而点A-30),求出点B的坐标,进而求解;

2)根据题意将四边形ABCD的面积分解为△DAM、梯形DMOC、△BOC的面积和,即可求解;

3)根据题意设点Exx2+2x-3),则点Fx-x-1),求出EFFH长度的表达式,即可求解.

解:(1)∵该抛物线的对称轴为直线x=﹣1,而点A(﹣30),

∴点B的坐标为(10),

c=﹣3,故点C的坐标为(0,﹣3),

∵函数的对称轴为x=﹣1,故点D的坐标为(﹣1,﹣4);

2)过点DDMAB,垂足为M

OM1DM4AM2OB1

3)设直线AC的表达式为:ykx+b,则,解得:

故直线AC的表达式为:y=﹣x3

将点A的坐标代入抛物线表达式得:9a6a30,解得:a1

故抛物线的表达式为:yx2+2x3

设点Exx2+2x3),则点Fx,﹣x1),

EF=(﹣x1)﹣(x2+2x3)=﹣x23xFHx+3

EF2FH

∴﹣x23x2x+3),解得:x=﹣2或﹣3(舍去﹣3),

m=﹣2.

故点E的坐标为:(﹣2,﹣3).

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