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【题目】如图,ABC中,∠ABC45°CDABDBE平分∠ABC,且BEACE,与CD相交于点FDHBCHBEG.下列结论:①BDCD;②AD+CFBD;③CEBF;④AEBG.其中正确的个数是(  )

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】C

【解析】

根据∠ABC45°CDAB可得出BDCD,利用AAS判定RtDFBRtDAC,从而得出DFADBFAC.则CDCF+AD,即AD+CFBD;再利用AAS判定RtBEARtBEC,得出CEAEAC,又因为BFAC所以CEACBF,连接CG.因为BCD是等腰直角三角形,即BDCD.又因为DHBC,那么DH垂直平分BC.即BGCG.在RtCEG中,CG是斜边,CE是直角边,所以CECG.即AEBG

解:∵CDAB,∠ABC45°

∴△BCD是等腰直角三角形.

BDCD.故①正确;

RtDFBRtDAC中,

∵∠DBF90°﹣∠BFD,∠DCA90°﹣∠EFC,且∠BFD=∠EFC

∴∠DBF=∠DCA

又∵∠BDF=∠CDA90°BDCD

∴△DFB≌△DAC

BFACDFAD

CDCF+DF

AD+CFBD;故②正确;

RtBEARtBEC

BE平分∠ABC

∴∠ABE=∠CBE

又∵BEBE,∠BEA=∠BEC90°

RtBEARtBEC

CEAEAC

又由(1),知BFAC

CEACBF;故③正确;

连接CG

∵△BCD是等腰直角三角形,

BDCD

DHBC

DH垂直平分BC

BGCG

RtCEG中,

CG是斜边,CE是直角边,

CECG

CEAE

AEBG.故④错误.

故选:C

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