【题目】如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设 =n.
(1)求证:AE=GE;
(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示 的值;
(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.
【答案】
(1)
证明:由对称得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA,
∵GF⊥AE,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,
∴∠FGA=∠EFG,∴EG=EF.
∴AE=EG.
(2)
解:设AE=a,则AD=na,
当点F落在AC上时(如图1),
由对称得BE⊥AF,
∴∠ABE+∠BAC=90°,
∵∠DAC+∠BAC=90°,
∴∠ABE=∠DAC,
又∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE~△DAC ,
∴
∵AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2,
∵AB>0,∴AB= .
∴ .
(3)
解:设AE=a,则AD=na,由AD=4AB,则AB= .
当点F落在线段BC上时(如图2),EF=AE=AB=a,
此时 ,∴n=4.
∴当点F落在矩形外部时,n>4.
∵点F落在矩形的内部,点G在AD上,
∴∠FCG<∠BCD,∴∠FCG<90°,
若∠CFG=90°,则点F落在AC上,由(2)得 ,∴n=16.
若∠CGF=90°(如图3),则∠CGD+∠AGF=90°,
∵∠FAG+∠AGF=90°,
∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,
∵∠BAE=∠D=90°,
∴△ABE~△DGC,
∴ ,
∴AB·DC=DG·AE,即( )2=(n-2)a·a.
解得 或
(不合题意,舍去),
∴当n=16或 时,以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形.
【解析】(1)因为GF⊥AF,由对称易得AE=EF,则由直角三角形的两个锐角的和为90度,且等边对等角,即可证明E是AG的中点;(2)可设AE=a,则AD=na,即需要用n或a表示出AB,由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°,可证明△ABE~△DAC , 则 ,因为AB=DC,且DA,AE已知表示出来了,所以可求出AB,即可解答;(3)求以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形时的n,需要分类讨论,一般分三个,∠FCG=90°,∠CFG=90°,∠CGF=90°;根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°,所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)求点C,D的坐标及平行四边形ABDC的面积.
(2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使=2
,若存在这样一点,求出点P的坐标,若不存在,试说明理由.
(3)点P是四边形ABCD边上的点,若△OPC为等腰三角形时,直接写出点P的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED.
(1)探究猜想:①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度?
②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度?
③猜想图1中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系并证明你的结论.
(2)拓展应用:如图2,线段FE与长方形ABCD的边AB交于点E,与边CD 交于点F.图2中①②分别是被线段FE隔开的2个区域(不含边界),P是位于以上两个区域内的一点,猜想∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系(不要求说明理由).
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况,他从中随机调查了50户居民的月均用水量(单位:t),并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图(如图).
(1)请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图;
月均用水量/t | 频数 | 百分比 |
2≤x<3 | 2 | 4% |
3≤x<4 | 12 | 24% |
4≤x<5 | ||
5≤x<6 | 10 | 20% |
6≤x<7 | 12% | |
7≤x<8 | 3 | 6% |
8≤x<9 | 2 | 4% |
(2)如果家庭月均用水量“大于或等于4 t且小于7 t”为中等用水量家庭,请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户.
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【题目】如图, 是
的中线,
是线段
上一点(不与点
重合).
交
于点
,
,连结
.
(1)如图1,当点 与
重合时,求证:四边形
是平行四边形;
(2)如图2,当点 不与
重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长 交
于点
,若
,且
.当
,
时,求
的长.
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【题目】如图,有下列说法:①若DE∥AB,则∠DEF+∠EFB=180;
②能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个;③能与∠BFE构
成同位角的角的个数有2个;④能与∠C构成同旁内角的角的个数有4个.其中结论正确的是( )
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②④
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【题目】在直角坐标系中,过原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,连结OB,D为OB的中点。点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF。已知点E从A点出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒。
(1)如图1,当t=3时,求DF的长;
(2)如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;
(3)连结AD,当AD将△DEF分成的两部分面积之比为1:2时,求相应t的值。
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知AB∥CD,CE,BE的交点为E,现作如下操作:
第一次操作,分别作∠ABE和∠DCE的平分线,交点为E1,
第二次操作,分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线,交点为E2,
第三次操作,分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线,交点为E3……
第n次操作,分别作∠ABEn-1和∠DCEn-1的平分线,交点为En.
(1)如图①,求证:∠E=∠B+∠C;
(2)如图②,求证:∠E1=∠E;
(3)猜想:若∠En=b°,求∠BEC的度数.
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