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【题目】如图,Rt△AOB的直角边OA在x轴上,OA=2,AB=1,将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD,抛物线y=﹣ x2+bx+c经过B、D两点.

(1)求二次函数的解析式;
(2)连接BD,点P是抛物线上一点,直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,求点P的坐标.

【答案】
(1)解:∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD,

∴CD=AB=1、OA=OC=2,

则点B(2,1)、D(﹣1,2),代入解析式,得:

解得:

∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+


(2)解:如图,

∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,且OB=OD,

∴DQ=BQ,即点Q为BD的中点,

∴点Q坐标为( ),

设直线OP解析式为y=kx,

将点Q坐标代入,得: k=

解得:k=3,

∴直线OP的解析式为y=3x,

代入y=﹣ x2+ x+ ,得:﹣ x2+ x+ =3x,

解得:x=1或x=﹣4,

当x=1时,y=3,

当x=﹣4时,y=﹣12,

∴点P坐标为(1,3)或(﹣4,﹣12)


【解析】(1)由旋转的性质:对应线段相等,求出B、D坐标,代入解析式即可;(2)由旋转性质知OB=OD,直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,可得DQ=BQ,即点Q为BD的中点;中点坐标公式是中点横纵坐标分别是端点横纵坐标和的一半,可求出Q的坐标,求出OQ的解析式,与抛物线解析式联立可求得坐标.

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B.
C.
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租金(单位:元/时)

挖掘土石方量(单位:m3/时)

甲型挖掘机

100

60

乙型挖掘机

120

80

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