Question

4．已知，如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=$\frac{1}{2}$OB．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若弦CD∥AB，⊙O的半径为2cm，求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，交CD于E，由OC=BC，AC=$\frac{1}{2}$OB，证出△OAB是直角三角形，得出∠OAB=90°，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB，再由垂径定理得出DE=CE=$\frac{1}{2}$CD，证明CE是△OAB的中位线，得出CE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$，即可求出CD的长．

解答 解：（1）AB是⊙O的切线；理由如下：
连接OA，交CD于E，如图所示：
∵OC=BC，AC=$\frac{1}{2}$OB，
∴△OAB是直角三角形，
即∠OAB=90°，
∴AB⊥OA，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠OAB=90°，OA=2cm，OB=2OC=4cm，
∴AB=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∵CD∥AB，
∴OA⊥CD，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$CD，
∵OC=BC，
∴OE=AE，
∴CE是△OAB的中位线，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$cm，
∴CD=2CE=2$\sqrt{3}$cm．

点评 本题考查了切线的判定、直角三角形的判定、勾股定理、垂径定理、三角形中位线定理；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．