超市市场部整理出销售某品牌新款童装的销售量与销售单价的相关信息如下: 已知该童装的进价为每件60元.设销售单价为x元.销售单价不低于进价.且获利不得高于45%.设销售该款童装的利润为W元． (1)求利润W与销售单价x之间的关系式.并求销售单价定为多少元时.商场可获得最大利润.最大利润是多少元? (2)若超市销售该款童装获得的利润不低于500元.试确� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

超市市场部整理出销售某品牌新款童装的销售量与销售单价的相关信息如下：

已知该童装的进价为每件60元，设销售单价为x元，销售单价不低于进价，且获利不得高于45%，设销售该款童装的利润为W元．

（1）求利润W与销售单价x之间的关系式，并求销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（2）若超市销售该款童装获得的利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）先利用待定系数法求出销售量y与销售单价x的函数关系式y=﹣x+120；再根据总利润等于每一件的利润乘以销售总量得到W=（x﹣60）•y，把y=﹣x+120代入得到W=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x²+180x﹣7200（60≤x≤87）；然后配成顶点式为W=﹣（x﹣90）²+900，根据二次函数的性质得到当x＜90时，W随x的增大而增大，则x=87时，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）²+900=891；

（2）令W=500，则﹣（x﹣90）²+900=500，解得x₁=70，x₂=110，而当x＜90时，W随x的增大而增大，即可得到当销售单价的范围为70（元）≤x≤87（元）时，该商场获得利润不低于500元．

【解答】解：（1）设销售量为y件，由图象知销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b（k≠0），

根据题意得，

解得，解得，

∴y=﹣x+120；

∴W=（x﹣60）•y

=（x﹣60）（﹣x+120）

=﹣（x﹣90）²+900，

∵抛物线开口向下，

∴当x＜90时，W随x的增大而增大，

又∵60≤x≤60（1+45%），即60≤x≤87，

∴x=87时，W有最大值，其最大值=﹣（87﹣90）²+900=891，

即销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；

（2）令W=500，则﹣（x﹣90）²+900=500，

解得x₁=70，x₂=110，

∵当x＜90时，W随x的增大而增大，

∴要使超市销售该款童装获得的利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，

∴销售单价x的范围为70≤x≤87．

【点评】本题考查了二次函数的应用：先根据实际问题得到二次函数的解析式y=ax²+bx+c（a≠0），再得到顶点式y=a（x+）²+，当a＜0，二次函数有最大值，即x=﹣时，y的最大值为，然后利用二次函数的性质解决有关问题．也考查了待定系数法求函数的解析式以及一次函数的应用．

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