Question

已知关于x的一元二次方程x²﹣6x+k+3=0有两个不相等的实数根

（1）求k的取值范围；

（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

Answer 1

【考点】根的判别式．

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；

（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，再将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．

【解答】解：（1）△=（﹣6）²﹣4（k+3）=36﹣4k﹣12=﹣4k+24，

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴﹣4k+24＞0．

解得 k＜6；

（2）∵k＜6且k为大于3的整数，

∴k=4或5．

①当k=4时，方程x²﹣6x+7=0的根不是整数．

∴k=4不符合题意；

②当k=5时，方程x²﹣6x+8=0根为x₁=2，x₂=4均为整数．

∴k=5符合题意．

综上所述，k的值是5．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²﹣4ac有如下关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

也考查了一元二次方程的解法．