Question

12．已知平行四边形ABCD中，∠A=120°，点P为边DC所在直线上一点，点E为边BC所在直线上一点，且PB=PE．
（1）当点P在DC边上时（如图①），求证：CE-PC=AD；
（2）当点P在DC延长线上时（如图②）；当点P在CD延长线上时（如图③），PC，CE与AD又有怎样的数量关系？请分别写出你的猜想，不用证明．

Answer 1

分析 （1）作PM⊥BE于M，则∠PMC=90°，由平行四边形的性质得出BC=AD，∠BCD=∠A=120°，证出∠CPM=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出PC=2CM，由等腰三角形的性质得出BM=EM，得出BC=CE-CM-CM=CE-PC即可；
（2）如图2所示，作PM⊥BE于M，则∠PMC=90，同（1）得：PC=2CM，BM=EM，即可得出CE+PC=AD；
如图3所示，作PM⊥BE于M，则∠PMC=90°，同（1）得：PC=2CM，BM=EM，即可得出CE-PC=AD；

解答 （1）证明：作PM⊥BE于M，如图1所示：
则∠PMC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，∠BCD=∠A=120°，
∴∠PCM=60°，
∴∠CPM=30°，
∴PC=2CM，
∵PB=PE，
∴BM=EM，
∴BC=BM-CM=EM--CM=CE-CM-CM=CE-PC，
∴CE-PC=AD；
（2）解：如图2所示，CE+PC=AD，理由如下：
作PM⊥BE于M，则∠PMC=90°，
同（1）得：PC=2CM，BM=EM，
∴BC=BM+CM=EM+CM=CE+CN+CM=CE+PC，
∴CE+PC=AD；
如图3所示：CE-PC=AD；理由如下：
作PM⊥BE于M，则∠PMC=90°，
同（1）得：PC=2CM，BM=EM，
∴BC+CM=CE-CM，
∴BC+2CM=CE，
∴BC+PC=CE，
∴CE-PC=AD；

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线才能得出结论．