如图.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1.求抛物线经过A两点.与x轴交于A.B两点．(1)若直线y=mx+n经过B.C两点.求直线BC和抛物线的解析式,(2)在该抛物线的对称轴x=-1上找一点M.使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小.求出点M的坐标,(3)设点P为该抛物线的对称轴x=-1上的一个动点.求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．(提示:若平面直角坐标系内两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为该抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．（提示：若平面直角坐标系内两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则线段PQ的长度PQ=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$）．

分析（1）根据A和B关于x=-1对称即可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）求得BC与对称轴的交点就是M；
（3）设P的坐标是（-1，p），利用两点之间的距离公式表示出BC、BP和PC的长，然后分成△BPC的三边分别是斜边三种情况讨论，利用勾股定理列方程求得p的值，得到P的坐标．

解答解：（1）A（1，0）关于x=-1的对称点是（-3，0），则B的坐标是（-3，0）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=x+3；
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是y=-x²-2x+3；
（2）在y=x+3中令x=-1，则y=-1+3=2，
则M的坐标是（-1，2）；
（3）设P的坐标是（-1，p）．
则BP²=（-1+3）²+p²=4+p²．
PC=（0+1）²+（3-p）²=p²-6p+10．
BC=3²+3²=18．
当BC时斜边时，BP²+PC²=BC²，则（4+p²）+（p²-6p+10）=18，
解得：p=-1或2，
则P的坐标是（-1，-1）或（-1，2）；
当BP是斜边时，BP²=PC²+BC²，则4+p²=（p²-6p+10）+18，
解得：p=4，
则P的坐标是（-1，4）；
当PC是斜边时，PC²=BP²+BC²，则p²-6p+10=4+p²+18，
解得：p=-2，
则P的坐标是（-1，-2）．
总之，P的坐标是（-1，-1）或（-1，2）或（-1，4）或（-1，-2）．

点评本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及对称的性质和勾股定理，正确利用p表示出△BPC的边BP和PC的长是关键．

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