Question

已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠CAD=60°，BD=BC，AB=1，求AD的长．

Answer 1

考点：等腰直角三角形

专题：

分析：根据题意画出图形，有两种情况：
①当∠CAD在∠BAC的外部，如图（1），延长BA，过D作DE⊥AB，垂足为E，可得∠DAE=30°，设DE=x，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=2x，由勾股定理得AE=

3

x，然后在Rt△BED中，由勾股定理可求x=

- 3 + 7

4

，进而求出AD=

- 3 + 7

2

；
②当∠CAD在∠BAC的内部，如图（2），过点B作BF⊥AD，垂足为F，由∠BAC=90°，∠CAD=60°，可得∠BAD=30°，在Rt△ABF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得BF=

1

2

AB=

1

2

，然后由勾股定理可求AF=

3

2

，然后在Rt△BDF中，由勾股定理可求DF=

7

2

，所以AD=AF+DF=

3 + 7

2

．

解答：解：①当∠CAD在∠BAC的外部，如图（1），

延长BA，过D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠BAC=90°，∠CAD=60°，
∴∠DAE=30°，
设DE=x，则AD=2x，
由勾股定理得：AE=

3

x，
△ABC中中，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AB=1，
∴AC=1，
由勾股定理得：
AB²+AC²=BC²，
即：1²+1²=BC²，
∴BC=

2

，
∵BD=BC，
∴BD=

2

，
在Rt△BED中，由勾股定理得：
BE²+ED²=BD²，
即：（1+

3

x）²+x²=（

2

）²，
解：x₁=

- 3 + 7

4

，x₂=

- 3 - 7

4

（舍去），
∴AD=2x=

- 3 + 7

2

；
②当∠CAD在∠BAC的内部，如图（2），

过点B作BF⊥AD，垂足为F，
∵∠BAC=90°，∠CAD=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BF=

1

2

AB=

1

2

，
在Rt△ABF中，
由勾股定理得：
AB²=BF²+AF²，
即：1²=（

1

2

）²+AF²，
∴AF=

3

2

，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AB=1，
∴AC=1，
由勾股定理得：
AB²+AC²=BC²，
即：1²+1²=BC²，
∴BC=

2

，
∵BD=BC，
∴BD=

2

，
在Rt△BED中，由勾股定理得：
BF²+FD²=BD²，
即：（

1

2

）²+FD²=（

2

）²，
∴DF=

7

2

，
∴AD=AF+DF=

3 + 7

2

．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：根据题意画出图形，分两种情况：①当∠CAD在∠BAC的外部，②当∠CAD在∠BAC的内部．