Question

如图，AD是△ABC的高，点M在AB边上，点N在AC边上，MN⊥AD，垂足为E．下列说法正确的是

 

．（只填序号）
①若

AM

MB

=

1

2

，则

MN

BC

=

1

2

；
②

S△AMN

S△ABC

=

AM

AB

；
③若△AMN与△ABC的相似比是2：3，且△AMN的周长为6，则△ABC的周长为9；
④若MN=

1

3

BC，则DE=

2

3

AD．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：如图，证明△AMN∽△ABC，得到

MN

BC

=

AM

AB

≠

AM

BM

，

S△AMN

S△ABC

=(

AM

AB

)2≠

AM

AB

，故①、②不成立；求出△ABC的周长；证明

MN

BC

=

AE

AD

=

1

3

，得到DE=

2

3

AD，得到③④成立．

解答：解：∵MN⊥AD，AD⊥BC，
∴MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

MN

BC

=

AM

AB

≠

AM

BM

，

S△AMN

S△ABC

=(

AM

AB

)2≠

AM

AB

，
故①、②不成立；
设△AMN、△ABC的周长分别为λ、μ；
∵△AMN∽△ABC，
∴

λ

μ

=

2

3

，而λ=6，
∴μ=9，故③成立；
∵△AMN∽△ABC，且AD⊥BC，AE⊥MN，
∴

MN

BC

=

AE

AD

=

1

3

，
∴DE=

2

3

AD．故④成立；
故答案为③④．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应元素，灵活运相似三角形的判定及其性质来分析、判断、解答．