Question

如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=

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AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,矩形的判定

专题：证明题

分析：（1）由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；
（2）若OD=

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AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=

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AC，得到OB=

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AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．

解答：（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，

∠FDO=∠EBO ∠DFO=∠BEO OE=OF

，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；

（2）若OD=

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AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∵OD=

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AC，
∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．